Mostre que:
|cos z|^2+|sen z|^2=1 se e só se z é real.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a soma dos quadrados dos valores absolutos do cosseno e do seno de z é igual a 1 se e somente se z for um número real. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das funções trigonométricas para números complexos e entender o que significa o valor absoluto de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer número complexo z , podemos expressá-lo como z = x + iy , onde x e y são números reais e i é a unidade imaginária ( i^2 = -1 ).

Passo 3

Agora, vamos expressar cos z e sin z usando as fórmulas para funções trigonométricas de números complexos:
cos z = cos(x + iy) = cos x cosh y - i sin x sinh y
sin z = sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y
Aqui, cosh y e sinh y são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os valores absolutos ao quadrado dessas funções:
|cos z|^2 = (cos x cosh y)^2 + (sin x sinh y)^2
|sin z|^2 = (sin x cosh y)^2 + (cos x sinh y)^2
Isso porque para um número complexo a + ib , |a + ib|^2 = a^2 + b^2 .

Passo 5

Somando |cos z|^2 e |sin z|^2 , temos:
|cos z|^2 + |sin z|^2 = (cos^2 x cosh^2 y + sin^2 x sinh^2 y) + (sin^2 x cosh^2 y + cos^2 x sinh^2 y)

Passo 6

Agrupando termos semelhantes:
|cos z|^2 + |sin z|^2 = (cos^2 x + sin^2 x) cosh^2 y + (sin^2 x + cos^2 x) sinh^2 y
Sabemos que cos^2 x + sin^2 x = 1 , então:
|cos z|^2 + |sin z|^2 = cosh^2 y + sinh^2 y

Passo 7

Usando a identidade hiperbólica cosh^2 y - sinh^2 y = 1 , podemos reescrever:
cosh^2 y + sinh^2 y = (cosh^2 y - sinh^2 y) + 2 sinh^2 y = 1 + 2 sinh^2 y

Passo 8

Portanto, temos:
|cos z|^2 + |sin z|^2 = 1 + 2 sinh^2 y

Passo 9

Queremos que |cos z|^2 + |sin z|^2 = 1 . Então:
1 + 2 sinh^2 y = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2 sinh^2 y = 0
Como sinh^2 y >= 0 para todo y , isso implica que sinh^2 y = 0 , ou seja, y = 0 .

Passo 10

Se y = 0 , então z = x + i0 = x , que é um número real.

Passo 11

Conclusão: A soma |cos z|^2 + |sin z|^2 = 1 ocorre se e somente se z é um número real.

Resposta

Portanto, mostramos que |cos z|^2 + |sin z|^2 = 1 se e somente se z for real.

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