Mostre que:
se e só se
é real.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a soma dos quadrados dos valores absolutos do cosseno e do seno de
é igual a 1 se e somente se
for um número real. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das funções trigonométricas para números complexos e entender o que significa o valor absoluto de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer número complexo
, podemos expressá-lo como
, onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária (
).
Passo 3
Agora, vamos expressar
e
usando as fórmulas para funções trigonométricas de números complexos:
Aqui,
e
são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os valores absolutos ao quadrado dessas funções:
Isso porque para um número complexo
,
.
Passo 5
Somando
e
, temos:
Passo 6
Agrupando termos semelhantes:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Usando a identidade hiperbólica
, podemos reescrever:
Passo 8
Portanto, temos:
Passo 9
Queremos que
. Então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Como
para todo
, isso implica que
, ou seja,
.
Passo 10
Se
, então
, que é um número real.
Passo 11
Conclusão: A soma
ocorre se e somente se
é um número real.
Resposta
Portanto, mostramos que
se e somente se
for real.