Mostre que:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a soma do quadrado do seno de
com o quadrado do cosseno de
é igual a 1, ou seja:
Esse exercício pertence ao conteúdo de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a identidade pitagórica, que relaciona seno e cosseno.
Passo 2
Vamos lembrar o que são seno e cosseno. Em um triângulo retângulo, para um ângulo
:
- Seno (
) é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. - Cosseno (
) é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
Passo 3
A identidade pitagórica é uma relação fundamental na trigonometria que afirma que:
Essa identidade vem do Teorema de Pitágoras, aplicado ao círculo unitário, onde a hipotenusa tem comprimento 1.
Passo 4
Para mostrar que
, consideramos um círculo unitário (raio igual a 1). Qualquer ponto nesse círculo pode ser representado pelas coordenadas
.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo formado pelas coordenadas do ponto no círculo unitário:
Simplificando, obtemos:
Resposta
Portanto, demonstramos que: