Mostre que:
sen^2 z+cos ^2 z=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a soma do quadrado do seno de z com o quadrado do cosseno de z é igual a 1, ou seja:
sin^2 z + cos^2 z = 1
Esse exercício pertence ao conteúdo de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a identidade pitagórica, que relaciona seno e cosseno.

Passo 2

Vamos lembrar o que são seno e cosseno. Em um triângulo retângulo, para um ângulo z :
  • Seno ( sin z ) é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo z e a hipotenusa.
  • Cosseno ( cos z ) é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo z e a hipotenusa.

Passo 3

A identidade pitagórica é uma relação fundamental na trigonometria que afirma que:
sin^2 z + cos^2 z = 1
Essa identidade vem do Teorema de Pitágoras, aplicado ao círculo unitário, onde a hipotenusa tem comprimento 1.

Passo 4

Para mostrar que sin^2 z + cos^2 z = 1 , consideramos um círculo unitário (raio igual a 1). Qualquer ponto nesse círculo pode ser representado pelas coordenadas (cos z, sin z) .

Passo 5

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo formado pelas coordenadas do ponto no círculo unitário:
(cos z)^2 + (sin z)^2 = 1^2
Simplificando, obtemos:
cos^2 z + sin^2 z = 1

Resposta

Portanto, demonstramos que:
sin^2 z + cos^2 z = 1

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