Determine se a equação diferencial dada é separável, linear ou ambas:
-3 t=e^t d yd t+y ln t

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação -3t = e^t dydt + y ln t. O conteúdo é classificação de equações diferenciais de 1ª ordem, e vamos precisar das definições de equação separável (dy/dt = f(t)·g(y)) e de equação linear (dy/dt + p(t)y = q(t)).

Passo 2

Vamos isolar dydt para ver a estrutura dela. Portanto, dividimos tudo por e^t e obtemos:
dydt = -3t,e^-t - y,(ln t),e^-t

Passo 3

Para testar se é separável, precisamos ver se podemos escrever dydt = F(t)cdot G(y). Aqui temos soma de dois termos, um que depende só de t e outro que é y vezes uma função de t. Não dá para separar as variáveis em um produto único. Logo, não é separável.

Passo 4

Para testar se é linear, comparamos com a forma dydt + p(t)y = q(t). Voltando à forma dividida por e^t, temos:
dydt + (ln t),e^-t,y = -3t,e^-t
Isso bate com p(t) = (ln t)e^-t e q(t) = -3t e^-t, portanto é uma equação linear.

Resposta

A equação é linear, mas não separável.

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