Encontre todas as soluções (constantes e não constantes) e, em seguida, resolva o PVI:
\frac{d y}{d x}=(y-1)(y+2), \quad y(0)=0
Discuta o comportamento qualitativo de y(x) em relação aos equilíbrios.

Passo 1

O enunciado pede as soluções constantes (equilíbrios) e as não-constantes da EDO autonôma
\frac{dy}{dx}=(y-1)(y+2),
além de resolver o problema de valor inicial (PVI)
y(0)=0.
O conteúdo é EDO separável e análise qualitativa de pontos de equilíbrio.

Passo 2

Para achar as soluções constantes basta zerar o lado direito:
(y-1)(y+2)=0
logo os equilíbrios são
y(x)\equiv1 \quad\text{e}\quad y(x)\equiv -2.

Passo 3

Para as soluções não-constantes separamos variáveis:
\frac{dy}{(y-1)(y+2)}=dx.
Usamos frações parciais:
\frac1{(y-1)(y+2)} =\frac{1/3}{y-1}-\frac{1/3}{y+2},
de modo que
\int\Bigl(\frac{1/3}{y-1}-\frac{1/3}{y+2}\Bigr)\,dy =\int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{y-1}{y+2}\Bigr|=x+C.
Elevando exponencial,
\frac{y-1}{y+2}=k\,e^{3x},
onde k=e^{3C} é constante de integração. Resolvendo para y,
y-1 =k\,e^{3x}(y+2) \quad\Longrightarrow\quad y\bigl(1-k\,e^{3x}\bigr)=1+2k\,e^{3x}
\Longrightarrow \quad y(x) =\frac{1+2k\,e^{3x}}{1-k\,e^{3x}}.

Passo 4

Impondo y(0)=0 obtemos
0=\frac{1+2k}{1-k} \quad\Longrightarrow\quad 1+2k=0 \quad\Longrightarrow\quad k=-\tfrac12.
Substituindo em y(x),
y(x) =\frac{1+2(-\tfrac12)e^{3x}}{1-(-\tfrac12)e^{3x}} =\frac{1-e^{3x}}{1+\tfrac12e^{3x}} =\frac{2-2e^{3x}}{2+e^{3x}}.

Passo 5

Análise qualitativa dos equilíbrios:
  • Para y< -2: (y-1)<0 e (y+2)<0;⇒; \dot y>0, as soluções sobem em x.
  • Para -2<y<1: (y-1)<0 e (y+2)>0;⇒; \dot y<0, as soluções descem em x.
  • Para y>1: (y-1)>0 e (y+2)>0;⇒; \dot y>0, as soluções sobem.
Isso mostra que y=-2 é atrator (estável) e y=1 é repulsor (instável). A solução do PVI parte de y(0)=0\in(-2,1) e decresce monotonamente, tendendo a y=-2 quando x\to+\infty e a y=1 quando x\to-\infty.

Resposta

Soluções constantes (equilíbrios):
y(x)\equiv1, \quad y(x)\equiv -2.
Solução geral não-constante:
y(x)=\frac{1+2k\,e^{3x}}{1-k\,e^{3x}},\quad k\in\mathbb{R}.
Solução do PVI y(0)=0:
\boxed{y(x)=\frac{2-2e^{3x}}{2+e^{3x}}.}

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