Reduza à forma separável, resolva o PVI e indique o maior intervalo de existência que contém x=1 :
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}, \quad y(1)=2, \quad(y \neq 0)

Passo 1

O enunciado dá o PVI
\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y},\quad y(1)=2,\quad (y\neq 0),
que é uma EDO separável. Para resolver, vamos separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados, depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
y\,dy = x\,dx
e, em seguida, integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int x\,dx.

Passo 3

Calculando as integrais, obtemos
\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando tudo por 2, fica
y^2 = x^2 + C_1,
sendo C_1 = 2C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=2:
(2)^2 = (1)^2 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad 4 = 1 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 3.
Logo a solução implícita é
y^2 = x^2 + 3.

Passo 5

Como y(1)=2>0, escolhemos o ramo positivo da raiz quadrada:
y(x) = \sqrt{x^2 + 3}.

Passo 6

O domínio natural de \sqrt{x^2+3} é todo o conjunto dos números reais e a solução nunca zera, satisfazendo y\neq0. Portanto, o maior intervalo de existência que contém x=1 é
(-\infty,\infty).

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \sqrt{x^2 + 3},
e o maior intervalo de existência que contém x=1 é (-\infty,\infty).

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