Determine a equação diferencial linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral é
O conteúdo que vamos usar é que, em equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, as soluções do tipo
correspondem aos raízes
da equação característica.
Passo 2
Identificamos que as exponenciais envolvidas são
e
. Isso significa que as raízes da equação característica são
Logo, o polinômio característico deve ser
Passo 3
Expandindo o produto temos
Passo 4
A equação diferencial cuja equação característica é
é obtida substituindo
,
e a constante multiplicando
. Assim, uma forma é
Multiplicando toda a equação por
para eliminar frações, obtemos
Resposta
A equação diferencial procurada é