Determine a equação diferencial linear homogênea cuja solução geral é dada por:
y(x)=c1 e^x+c2 e^4 x / 3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral é
y(x)=c1e^x+c2e^4x/3
O conteúdo que vamos usar é que, em equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, as soluções do tipo e^rx correspondem aos raízes r da equação característica.

Passo 2

Identificamos que as exponenciais envolvidas são e^x e e^4x/3. Isso significa que as raízes da equação característica são
r1=1, r2=tfrac43
Logo, o polinômio característico deve ser
(r - r1)(r - r2)=(r-1)l(r-tfrac43r)=0

Passo 3

Expandindo o produto temos
(r-1)l(r-tfrac43r) = r^2-l(1+tfrac43r)r+tfrac43 = r^2-tfrac73r+tfrac43

Passo 4

A equação diferencial cuja equação característica é
r^2-tfrac73r+tfrac43=0
é obtida substituindo r^2mapsto y'', rmapsto y' e a constante multiplicando y. Assim, uma forma é
y''-tfrac73y'+tfrac43y=0
Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar frações, obtemos
3y''-7y'+4y=0

Resposta

A equação diferencial procurada é
3y''-7y'+4y=0

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