Exercício II.5: Prove que o conjunto R^n, com n in N é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de soma e produto por escalar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto R^n equipado com as operações usuais
(x1,dots,xn)+(y1,dots,yn) = (x1+y1,dots,xn+yn)
e
lambda,(x1,dots,xn) = (lambda x1,dots,lambda xn)
é um espaço vetorial sobre o corpo R. Vamos usar que R já é corpo e que a soma e o produto em R^n são definidos componente a componente.

Passo 2

Verificamos primeiro as propriedades de adição em R^n:
  1. (Fechamento) Se u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) estão em R^n, então
    u+v = (u1+v1,dots,un+vn)inR^n
    porque a soma em R é fechada.
  2. (Comutatividade)
    u+v = (u1+v1,dots,un+vn) = (v1+u1,dots,vn+un) = v+u
  3. (Associatividade) Para w=(w1,dots,wn),
    (u+v)+w = (u1+v1+w1,dots,un+vn+wn) = u+(v+w)

Passo 3

Agora a existência de elemento neutro e inverso aditivo:
  1. (Neutro aditivo) O vetor
    0 = (0,dots,0)
    satisfaz
    u+0 = (u1+0,dots,un+0) = u
  2. (Inverso aditivo) Para cada u=(u1,dots,un), o inverso é
    -u = (-u1,dots,-un),
    pois
    u + (-u) = (u1-u1,dots,un-un) = (0,dots,0)=0

Passo 4

Verificamos as propriedades envolvendo produto por escalar:
  1. (Fechamento) Se lambdainR e uinR^n, então
    lambda u = (lambda u1,dots,lambda un)inR^n
    porque o produto em R é fechado.
  2. (Distributividade em relação à soma de vetores)
    lambda,(u+v) = l(lambda,(u1+v1),dots,lambda,(un+vn)r) = (lambda u1+lambda v1,dots,lambda un+lambda vn) = lambda u + lambda v

Passo 5

Continuando com as demais propriedades de escalar:
  1. (Distributividade em relação à soma de escalares) Para lambda,muinR,
    (lambda+mu),u = l((lambda+mu)u1,dots,(lambda+mu)unr) = (lambda u1+mu u1,dots,lambda un+mu un) = lambda u + mu u
  2. (Associatividade do produto escalar)
    lambda,(mu u) = lambda,(mu u1,dots,mu un) = (lambdamu,u1,dots,lambdamu,un) = (lambdamu),u

Passo 6

Por fim, a propriedade do escalar identidade:
(Elemento neutro escalar) Seja 1 o elemento neutro de R. Então
1cdot u = (1cdot u1,dots,1cdot un) = (u1,dots,un) = u

Resposta

Com isso vimos que as oito propriedades axiômaticas de espaço vetorial se cumprem em R^n. Portanto, R^n é um espaço vetorial sobre R.

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