Exercício II.5: Prove que o conjunto
, com
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais de soma e produto por escalar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
equipado com as operações usuais
e
é um espaço vetorial sobre o corpo
. Vamos usar que
já é corpo e que a soma e o produto em
são definidos componente a componente.
Passo 2
Verificamos primeiro as propriedades de adição em
:
-
(Fechamento) Se
e estão em , então porque a soma emé fechada. -
(Comutatividade)
-
(Associatividade) Para
,
Passo 3
Agora a existência de elemento neutro e inverso aditivo:
-
(Neutro aditivo) O vetorsatisfaz
-
(Inverso aditivo) Para cada
, o inverso é pois
Passo 4
Verificamos as propriedades envolvendo produto por escalar:
-
(Fechamento) Se
e , então porque o produto emé fechado. -
(Distributividade em relação à soma de vetores)
Passo 5
Continuando com as demais propriedades de escalar:
-
(Distributividade em relação à soma de escalares) Para
, -
(Associatividade do produto escalar)
Passo 6
Por fim, a propriedade do escalar identidade:
(Elemento neutro escalar) Seja
o elemento neutro de
. Então
Resposta
Com isso vimos que as oito propriedades axiômaticas de espaço vetorial se cumprem em
. Portanto,
é um espaço vetorial sobre
.