(2,0 pts) Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que é gerdo quando a região envolvida por y=1x^3, x=0, x=2 e y=0 gira em torno da reta x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos encontrar o volume do sólido formado quando a região delimitada pelas curvas y = 1x^3 , x = 0 , x = 2 e y = 0 gira em torno da reta x = -1 . Para resolver isso, vamos usar o método das camadas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método das camadas cilíndricas. Esse método envolve dividir o sólido em camadas finas, calcular o volume de cada camada e depois somar todos esses volumes usando uma integral. No nosso caso, como estamos girando em torno de uma reta vertical ( x = -1 ), vamos usar camadas verticais.

Passo 3

Vamos identificar o raio e a altura de cada camada. O raio é a distância entre a reta de rotação ( x = -1 ) e uma posição genérica x na região. Assim, o raio será:
r = x - (-1) = x + 1
A altura da camada é dada pela função y = 1x^3 menos y = 0 , ou seja:
h = 1x^3

Passo 4

Com o raio e a altura definidos, podemos escrever a expressão para o volume de uma camada cilíndrica:
dV = 2pi r h , dx = 2pi (x + 1) ( 1x^3 ) dx

Passo 5

Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa expressão de x = 0 até x = 2 :
V = 2pi integral0^2 x + 1x^3 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x + 1x^3 = xx^3 + 1x^3 = x^-2 + x^-3

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral x^-2 , dx = -x^-1
integral x^-3 , dx = -12x^-2

Passo 8

Substituímos os limites de integração na antiderivada:
V = 2pi [ ( -1x - 12x^2 ) g|0^2 ]

Passo 9

Calculamos os valores nos limites:
Para x = 2 :
-12 - 12(4) = -12 - 18 = -58
Para x = 0 :
Ambos os termos -1x e -12x^2 tendem ao infinito negativo.

Passo 10

Isso significa que o volume tende ao infinito, ou seja, o sólido gerado tem volume infinito devido à singularidade em x = 0 .

Resposta

O volume do sólido é infinito.

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