Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que é gerdo quando a região envolvida por e gira em torno da reta .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos encontrar o volume do sólido formado quando a região delimitada pelas curvas , , e gira em torno da reta . Para resolver isso, vamos usar o método das camadas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método das camadas cilíndricas. Esse método envolve dividir o sólido em camadas finas, calcular o volume de cada camada e depois somar todos esses volumes usando uma integral. No nosso caso, como estamos girando em torno de uma reta vertical (), vamos usar camadas verticais.
Passo 3
Vamos identificar o raio e a altura de cada camada. O raio é a distância entre a reta de rotação () e uma posição genérica na região. Assim, o raio será:
A altura da camada é dada pela função menos , ou seja:
Passo 4
Com o raio e a altura definidos, podemos escrever a expressão para o volume de uma camada cilíndrica:
Passo 5
Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa expressão de até :
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Substituímos os limites de integração na antiderivada:
Passo 9
Calculamos os valores nos limites:
Para x = 2 :
-12 - 12(4) = -12 - 18 = -58
Para x = 0 :
Ambos os termos -1x e -12x^2 tendem ao infinito negativo.
Passo 10
Isso significa que o volume tende ao infinito, ou seja, o sólido gerado tem volume infinito devido à singularidade em x = 0 .