Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1,

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a EDO homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 0, com y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y por e^rt:
r^2 - 3r + 2 = 0
Fatorando, obtemos (r-1)(r-2)=0, logo as raízes são
r1 = 1 e r2 = 2.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^2t

Passo 4

Calculamos y'(t) para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = C1 e^t + 2C2 e^2t
Em t=0 temos
y(0)=C1 + C2 = 1, y'(0)=C1 + 2C2 = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema para C1 e C2:
C1 + C2 = 1, C1 + 2C2 = 1
subtraindo as equações, vem C2=0 e, então, C1=1. Assim a solução que satisfaz as condições iniciais é
y(t) = e^t

Resposta

y(t) = e^t

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