Determine a equação diferencial linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Passo 1
O enunciado pede para achar uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja
O conteúdo aqui é o método da equação característica para EDOs lineares homogêneas.
Passo 2
Observamos que duas soluções fundamentais são
Na teoria das EDOs, cada solução da forma
corresponde a uma raiz
da equação característica. Para
temos
. Para
temos
.
Passo 3
A partir das raízes
e
, a equação característica é
A EDO linear homogênea correspondente, com coeficientes constantes, é
Passo 4
Para garantir que é correta, derivamos a solução geral:
Substituindo em
:
Como também
e
satisfazem para o termo constante
, a equação está consistente.
Resposta
A equação diferencial é