Determine a equação diferencial linear homogênea cuja solução geral é dada por:
y(x)=c1+c2 e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede para achar uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja
y(x)=c1+c2e^-2x
O conteúdo aqui é o método da equação característica para EDOs lineares homogêneas.

Passo 2

Observamos que duas soluções fundamentais são
y1(x)=1 e y2(x)=e^-2x
Na teoria das EDOs, cada solução da forma e^rx corresponde a uma raiz r da equação característica. Para y1=1=e^0cdot x temos r=0. Para y2=e^-2x temos r=-2.

Passo 3

A partir das raízes r=0 e r=-2, a equação característica é
r(r+2)=0 Longrightarrow r^2+2r=0
A EDO linear homogênea correspondente, com coeficientes constantes, é
y''+2y'=0

Passo 4

Para garantir que é correta, derivamos a solução geral:
y(x)=c1+c2e^-2x ;Longrightarrow; y'(x)=-2c2e^-2x, ; y''(x)=4c2e^-2x
Substituindo em y''+2y':
y''+2y' =4c2e^-2x+2(-2c2e^-2x) =0
Como também y'=0 e y''=0 satisfazem para o termo constante c1, a equação está consistente.

Resposta

A equação diferencial é
y''+2y'=0

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