Determine a equação diferencial linear homogênea cuja solução geral é dada por:
y(x)=c1 e^x+c2 x e^x

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes cuja solução geral é
y(x)=c1e^x+c2x e^x
O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, em particular o caso de raiz repetida na equação característica.

Passo 2

Note que as duas soluções fundamentais são
y1(x)=e^x, y2(x)=x e^x
Quando a equação característica de uma ODE linear tem uma raiz r de multiplicidade 2, as soluções são e^r x e x e^r x. Aqui r=1.

Passo 3

A equação característica correspondente é
(r-1)^2=0,
ou seja, r=1 com multiplicidade 2.

Passo 4

O operador diferencial associado é
(D-1)^2,
onde D=ddx. Logo a equação diferencial é
(D-1)^2y=0

Passo 5

Expandindo (D-1)^2y=0 em termos de derivadas:
(D-1)^2y =l(D^2-2D+1r)y =y''-2y'+y=0

Resposta

A equação diferencial procurada é
y''-2y'+y=0

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