Determine a equação diferencial linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes cuja solução geral é
O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, em particular o caso de raiz repetida na equação característica.
Passo 2
Note que as duas soluções fundamentais são
Quando a equação característica de uma ODE linear tem uma raiz
de multiplicidade 2, as soluções são
e
. Aqui
.
Passo 3
A equação característica correspondente é
ou seja,
com multiplicidade 2.
Passo 4
O operador diferencial associado é
onde
. Logo a equação diferencial é
Passo 5
Expandindo
em termos de derivadas:
Resposta
A equação diferencial procurada é