(2,0 pontos) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de selas da função
, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Da equação (2), podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo
na equação (1):
Então,
ou
.
Portanto, temos dois pontos críticos neste caso:
Caso 2:
Substituindo
na equação (1):
Então,
ou
.
Portanto, temos mais dois pontos críticos:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos calcular as derivadas segundas para usar o teste da segunda derivada e classificar cada ponto.
Calculando as derivadas segundas:
Passo 5
Vamos calcular o discriminante
para cada ponto crítico, onde:
E também vamos avaliar
em cada ponto para ajudar na classificação.
Passo 6
Vamos classificar cada ponto crítico com base nos valores de
e
:
- Ponto (0, 0):
Como
e
, o ponto é um máximo local.
- Ponto (4, 0):
Como
e
, o ponto é um mínimo local.
- Ponto (2, 2):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
- Ponto (2, -2):
Assim como o ponto anterior,
, então é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Máximo local -
: Mínimo local -
e : Pontos de sela