(2,0 pontos) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de selas da função f(x, y)=x^3-6 y^2-6 x^2+3 y^2 x+2, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função f(x, y) = x^3 - 6 y^2 - 6 x^2 + 3 y^2 x + 2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
Calculando a derivada parcial em relação a x :
fx = partial fpartial x = 3x^2 - 12x + 3y^2
E a derivada parcial em relação a y :
fy = partial fpartial y = -12y + 6xy

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde as derivadas parciais são iguais a zero:
fx = 3x^2 - 12x + 3y^2 = 0 (1)
fy = -12y + 6xy = 0 (2)
Da equação (2), podemos fatorar:
-12y + 6xy = 0 Rightarrow 6y(-2 + x) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. y = 0
  2. x = 2
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: y = 0
Substituindo y = 0 na equação (1):
3x^2 - 12x = 0 Rightarrow 3x(x - 4) = 0
Então, x = 0 ou x = 4 .
Portanto, temos dois pontos críticos neste caso:
  • (0, 0)
  • (4, 0)
Caso 2: x = 2
Substituindo x = 2 na equação (1):
3(2)^2 - 12(2) + 3y^2 = 0 Rightarrow 12 - 24 + 3y^2 = 0 Rightarrow 3y^2 = 12 Rightarrow y^2 = 4
Então, y = 2 ou y = -2 .
Portanto, temos mais dois pontos críticos:
  • (2, 2)
  • (2, -2)

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos calcular as derivadas segundas para usar o teste da segunda derivada e classificar cada ponto.
Calculando as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x - 12
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -12 + 6x
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 6y

Passo 5

Vamos calcular o discriminante D para cada ponto crítico, onde:
D = fxx fyy - (fxy)^2
E também vamos avaliar fxx em cada ponto para ajudar na classificação.

Passo 6

Vamos classificar cada ponto crítico com base nos valores de D e fxx :
  1. Ponto (0, 0):
fxx = 6(0) - 12 = -12
fyy = -12 + 6(0) = -12
fxy = 6(0) = 0
D = (-12)(-12) - (0)^2 = 144 > 0
Como D > 0 e fxx < 0 , o ponto é um máximo local.
  1. Ponto (4, 0):
fxx = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12
fyy = -12 + 6(4) = -12 + 24 = 12
fxy = 6(0) = 0
D = (12)(12) - (0)^2 = 144 > 0
Como D > 0 e fxx > 0 , o ponto é um mínimo local.
  1. Ponto (2, 2):
fxx = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0
fyy = -12 + 6(2) = -12 + 12 = 0
fxy = 6(2) = 12
D = (0)(0) - (12)^2 = -144 < 0
Como D < 0 , o ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (2, -2):
fxx = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0
fyy = -12 + 6(2) = -12 + 12 = 0
fxy = 6(-2) = -12
D = (0)(0) - (-12)^2 = -144 < 0
Assim como o ponto anterior, D < 0 , então é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função f(x, y) são:
  • (0, 0) : Máximo local
  • (4, 0) : Mínimo local
  • (2, 2) e (2, -2) : Pontos de sela

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