Determine a equação diferencial linear utilizando fator integrante.
y^prime=x+5 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = x + 5y
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' - 5y = x,
onde P(x) = -5 e Q(x) = x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -5,dxr) = e^-5x

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da forma padrão por mu(x):
e^-5xy' - 5e^-5xy = x e^-5x Longrightarrow ddxl(e^-5xyr) = x e^-5x
Agora integramos:
integral ddxl(e^-5xyr),dx = integral x e^-5x,dx
Para integral x e^-5x,dx, use integração por partes com u=x, dv=e^-5xdx, assim
integral x e^-5x,dx = -x5e^-5x - integral l(-15e^-5xr),dx = -x5e^-5x - 125e^-5x + C

Passo 5

Temos então
e^-5xy = -x5e^-5x - 125e^-5x + C
Multiplicando por e^5x, obtemos a solução geral:
y = -x5 - 125 + C,e^5x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C,e^5x - x5 - 125,
onde C é constante arbitrária.

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