Determine a equação diferencial linear utilizando fator integrante.
y^prime+2 y=2 e^x

Passo 1

Tranquilo, a gente tem a equação de primeira ordem
y' + 2y = 2e^x,
que está no formato linear
y' + P(x),y = Q(x)
com P(x)=2 e Q(x)=2e^x. O método do fator integrante é ideal aqui.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2,dx = e^2x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=e^2x:
e^2xy' + 2e^2xy = 2e^2xe^x = 2e^3x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^2xy, pois
ddxl(e^2xyr) = e^2xy' + 2e^2xy

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^2xyr),dx = integral 2e^3x,dx
e^2xy = 23e^3x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^2x:
y = 23e^3x-2x + C e^-2x = 23e^x + C e^-2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = 23e^x + C e^-2x

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