Questão 4
Calcule o que se pede:
Determine o volume do sólido obtido através da rotaçào, em torno do eixo x, da regiâo limitada pelas retas e curvas y=2 raizx, y=2 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por
,y=2raizx, ,y=2 e ,x=0.
O conteúdo é volume de revolução e vamos usar o método dos anéis (discos com furo), em que
dV = pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
sendo R(x) o raio externo e r(x) o raio interno, integrados ao longo de x.

Passo 2

Precisamos achar onde as curvas y=2raizx e y=2 se encontram para definir os limites de x.
2raizx = 2 Longrightarrow raizx=1 Longrightarrow x=1
Logo a região vai de x=0 até x=1.

Passo 3

Para cada xin[0,1], ao girar a região em torno do eixo x:
– o raio externo é dado por R(x)=2 (linha y=2),
– o raio interno é dado por r(x)=2raizx (linha y=2raizx).
Assim o elemento de volume é
dV = pil[,2^2 - l(2raizxr)^2r]dx = pil[4 - 4xr],dx

Passo 4

Integramos de x=0 até x=1:
V = integral0^1 pil(4 - 4xr),dx = pi integral0^1 4(1 - x),dx = 4pi l[x - tfracx^22r]0^1 =4pil(1 - tfrac12r) =2pi

Resposta

O volume do sólido é 2pi.

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