Questão 4
Calcule o que se pede:
Determine o volume do sólido obtido através da rotação, em torno do cixo y, da regiâo limitada pelas retas e curvas x=raiz2 y /(y^2+1), x=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região do plano limitada por
  • x=0,
  • x=dfracraiz2yy^2+1,
  • y=1,
    e cuja outra fronteira é o ponto em que dfracraiz2yy^2+1=0, ou seja y=0.
    O conteúdo usado aqui é o método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de rotação).

Passo 2

Para cada yin[0,1], a “gordura” do disco vem de girar o segmento horizontal de x=0 até
R(y)=raiz2y(y^2+1)
ao redor do eixo y. Assim o raio externo do disco é R(y) e o raio interno é zero.

Passo 3

O volume é dado por
V=integraly=0^1pil(R(y)r)^2,dy
ou seja
V=piintegral0^12y(y^2+1)^2,dy

Passo 4

Fazendo a substituição
u=y^2+1, du=2y,dy,
os limites y=0to u=1 e y=1to u=2 levam
integral0^12y(y^2+1)^2,dy =integral1^21u^2,du =l[-u^-1r]1^2 =-12+1 =12
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V=picdot12=pi2

Resposta

pi2

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