Determine a equação da elipse centrada na origem cujo eixo menor mede 8 unidades e está sobre o eixo x, e que passa pelo ponto P(2,-3 \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse centrada na origem, com eixo menor de comprimento 8 unidades e esse eixo menor alinhado ao eixo x. Além disso, a elipse passa pelo ponto P(2,-3\sqrt{3}). Vamos usar a forma padrão da elipse centrada na origem:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
onde a é o semi-eixo ao longo de x e b é o semi-eixo ao longo de y.

Passo 2

Como o eixo menor está sobre o eixo x e mede 8, o semi-eixo menor é
a = \frac{8}{2} = 4.
Logo, a forma da elipse fica
\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

Passo 3

A elipse deve passar por P(2,-3\sqrt{3}). Substituindo x=2 e y=-3\sqrt{3} na equação:
\frac{2^2}{16} + \frac{(-3\sqrt{3})^2}{b^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{16} + \frac{27}{b^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4} + \frac{27}{b^2} = 1.
Isolando \tfrac{27}{b^2}:
\frac{27}{b^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad b^2 = \frac{27\cdot 4}{3} = 36.

Passo 4

Assim, b = 6 e a equação final da elipse é
\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1.

Resposta

\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1.

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