Determine a equação da hipérbole com centro na origem, vértices em A_{1}(0,-6) e A_{2}(0,6), e cujas assíntotas são as retas y= \pm 2 x.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com centro na origem, vértices em A_{1}(0,-6) e A_{2}(0,6), e assíntotas y=\pm2x. O conteúdo aqui é a forma padrão da hipérbole centrada na origem: para aberturas verticais, usamos
\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,
e precisamos determinar a e b.

Passo 2

Como os vértices são (0,\pm6), temos
a=6 \quad\Longrightarrow\quad a^2=36.
Isso porque, nessa forma, os vértices ficam em (0,\pm a).

Passo 3

As assíntotas de uma hipérbole vertical \dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1 são
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Aqui elas são y=\pm2x, logo
\frac{a}{b}=2.

Passo 4

Substituindo a=6 em \tfrac{a}{b}=2, obtemos
\frac{6}{b}=2 \quad\Longrightarrow\quad b=3 \quad\Longrightarrow\quad b^2=9.

Passo 5

Com a^2=36 e b^2=9, a equação da hipérbole é
\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{9}=1.

Resposta

\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{9}=1

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