A equação de uma hipérbole centrada na origem é \frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{7}=1. Determine:
a) As coordenadas dos vértices ( A_{1} e A_{2} ).
b) As coordenadas dos focos \left(F_{1}\right. e \left.F_{2}\right).
c) As equações das assíntotas.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{7}=1
centrada na origem e com eixo transverso vertical. Para encontrar vértices, focos e assíntotas, vamos identificar a^{2}, b^{2} e depois calcular a, b e c (distância focal).

Passo 2

Na forma padrão
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1
temos a^{2}=9 e b^{2}=7. Logo
a=3,\quad b=\sqrt{7}.
A distância focal satisfaz
c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+7=16
portanto c=4.

Passo 3

Os vértices de uma hipérbole vertical são
(0,\pm a).
Assim,
A_{1}=(0,3), \quad A_{2}=(0,-3).

Passo 4

Os focos ficam em
(0,\pm c).
Logo
F_{1}=(0,4), \quad F_{2}=(0,-4).

Passo 5

As assíntotas da hipérbole y^{2}/a^{2}-x^{2}/b^{2}=1 são as retas
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Substituindo a=3 e b=\sqrt{7},
y=\pm\frac{3}{\sqrt{7}}x \quad\text{(ou racionalizando)}\quad y=\pm\frac{3\sqrt{7}}{7}\,x.

Resposta

a) A_{1}=(0,3), A_{2}=(0,-3)
b) F_{1}=(0,4), F_{2}=(0,-4)
c) y=\pm\frac{3}{\sqrt{7}}x (equivalente a y=\pm\frac{3\sqrt{7}}{7}x)

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