Determine a equação da elipse conhecendo:
Os focos F1(0,4) e F2(0,-4) e as extremidades do eixo maior A1(0,6) e A2(0,-6)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse sabendo que os focos são F1(0,4) e F2(0,-4) e as extremidades do eixo maior são A1(0,6) e A2(0,-6). Aqui o conteúdo é a forma canônica da elipse com eixo maior vertical, para a qual precisamos do centro (h,k), do semi-eixo maior a e da distância focal c, e então usar a relação c^2=a^2-b^2.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio de A1 e A2. Como
A1=(0,6), A2=(0,-6),
o centro é
(h,k)=l(0,tfrac6+(-6)2r)=(0,0)

Passo 3

O semi-eixo maior a é a distância do centro até A1 (ou até A2). Logo,
a = distl((0,0),(0,6)r)=6

Passo 4

A distância focal c é a distância do centro até um dos focos. Tomando F1=(0,4), temos
c = distl((0,0),(0,4)r)=4

Passo 5

Para determinar o semi-eixo menor b usamos a relação
c^2=a^2-b^2
Substituindo a=6 e c=4, vem
4^2=6^2-b^2 Longrightarrow 16=36-b^2 Longrightarrow b^2=36-16=20

Passo 6

Como a elipse tem eixo maior vertical e centro (0,0), sua equação canônica é
(x-0)^2b^2+(y-0)^2a^2=1
Substituindo a^2=36 e b^2=20, fica

Resposta

x^220+y^236=1

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