Determine uma matriz P que diagonaliza A e calcule que P^-1 A P.
A=(ll5 & 3 3 & 5)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 5 & 3 3 & 5,
isto é, encontrar uma matriz P de autovetores de A tal que P^-1AP seja diagonal. Para isso, vamos calcular os autovalores, os autovetores, montar P e então verificar a diagonalização.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!5-lambda & 3 3 & 5-lambda = (5-lambda)^2 - 3^2 = 0
Resolvendo (5-lambda)^2 = 9 obtemos
lambda = 5 pm 3, isto é,
lambda1 = 8 e lambda2 = 2.

Passo 3

Determinar os autovetores:
Para lambda1 = 8, resolvemos
(A - 8I)x = -3 & 3 3 & -3 x1 x2 = 0
que leva à condição -3x1 + 3x2 = 0, logo x1 = x2. Um autovetor associado é
v1 = 11
Para lambda2 = 2, resolvemos
(A - 2I)x = 3 & 3 3 & 3 x1 x2 = 0
que dá 3x1 + 3x2 = 0, logo x1 = -x2. Um autovetor associado é
v2 = 1-1

Passo 4

Construir P usando os autovetores como colunas:
P = 1 & 1 1 & -1
O determinante de P é det P = -2. Assim,
P^-1 = 1det P-1 & -1 -1 & 1 = 121 & 1 1 & -1

Passo 5

Verificar a diagonalização:
P^-1 A P = 121 & 1 1 & -1 5 & 3 3 & 5 1 & 1 1 & -1 = 8 & 0 0 & 2

Resposta

P = 1 & 1 1 & -1 P^-1AP = 8 & 0 0 & 2

Exercícios relacionados