Determine uma matriz
que diagonaliza
e calcule que
.
Passo 1
O enunciado pede uma matriz
P que diagonalize
isto é, queremos encontrar
P invertível tal que
seja diagonal. Para isso vamos achar os autovalores e os autovetores de
A .
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de
A :
Expandindo o último determinante:
Logo
Os autovalores são
Passo 3
Para
, resolvemos
:
Escolhendo
, obtemos o autovetor
Para
, resolvemos
:
Escolhendo
, obtemos
Passo 4
Para
, resolvemos
:
dessas duas equações decorre
e
, mas
é livre. Então um autovetor é
Passo 5
Tomando como colunas de
P os autovetores
v1,v2,v3 na ordem dos autovalores
10,-3,-2 , temos
Então, por construção,
Resposta
A matriz que diagonaliza
A é
e