Determine uma matriz P que diagonaliza A e calcule que P^-1 A P.
A=(ccc6 & 0 & 6 0 & -2 & 0 6 & 0 & 1)

Passo 1

O enunciado pede uma matriz P que diagonalize
A = 6 & 0 & 6 0 & -2 & 0 6 & 0 & 1,
isto é, queremos encontrar P invertível tal que
P^-1AP
seja diagonal. Para isso vamos achar os autovalores e os autovetores de A.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det6-lambda&0&6 0&-2-lambda&0 6&0&1-lambda =( -2-lambda)det6-lambda&6 6&1-lambda
Expandindo o último determinante:
(6-lambda)(1-lambda)-6cdot6 =lambda^2-7lambda-30
Logo
det(A-lambda I)=(! -lambda-2)(lambda^2-7lambda-30) =(lambda+2)(lambda-10)(lambda+3)
Os autovalores são
lambda1=10, lambda2=-3, lambda3=-2

Passo 3

Para , resolvemos :
Escolhendo , obtemos o autovetor
Para , resolvemos :
Escolhendo , obtemos

Passo 4

Para , resolvemos :
dessas duas equações decorre e , mas é livre. Então um autovetor é

Passo 5

Tomando como colunas de P os autovetores v1,v2,v3 na ordem dos autovalores 10,-3,-2, temos
P= 3 & 2 & 0 0 & 0 & 1 2 & -3 & 0
Então, por construção,
P^-1AP = 10 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & -2

Resposta

A matriz que diagonaliza A é
P = 3 & 2 & 0 0 & 0 & 1 2 & -3 & 0 ,
e
P^-1AP = 10 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & -2

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