Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho tais que det(A)=det(B), então det(A+B)=2 det(A).

Passo 1

Estamos com matrizes quadradas A e B de mesma ordem e queremos testar se a condição det(A)=det(B) implica det(A+B)=2·det(A). O conteúdo aqui é propriedades de determinante e uso de contraexemplo para responder se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Para refutar a afirmação, basta encontrar um contraexemplo quando a ordem das matrizes é pelo menos 2.

Passo 3

Considere as matrizes identidade e sua oposta na ordem 2:

Passo 4

A = 1 & 00 & 1,

Passo 5

B = -1 & 00 & -1.

Passo 6

Ambas têm determinante igual a 1, pois det(A)=1·1−0·0=1 e det(B)=(-1)·(-1)−0·0=1. Portanto det(A)=det(B).

Passo 7

Por outro lado, A+B é a matriz nula de ordem 2, ou seja:

Passo 8

A+B = 0 & 00 & 0,

Passo 9

e det(A+B)=0. Isso não coincide com 2·det(A)=2·1=2.

Passo 10

Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa. Um contraexemplo é A=I₂ e B=−I₂: det(A)=det(B)=1, mas det(A+B)=0≠2.

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