Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
e
forem matrizes quadradas de mesmo tamanho tais que
, então
.
Se
Passo 1
Estamos com matrizes quadradas A e B de mesma ordem e queremos testar se a condição det(A)=det(B) implica det(A+B)=2·det(A). O conteúdo aqui é propriedades de determinante e uso de contraexemplo para responder se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Para refutar a afirmação, basta encontrar um contraexemplo quando a ordem das matrizes é pelo menos 2.
Passo 3
Considere as matrizes identidade e sua oposta na ordem 2:
Passo 4
A =
,
Passo 5
B =
.
Passo 6
Ambas têm determinante igual a 1, pois det(A)=1·1−0·0=1 e det(B)=(-1)·(-1)−0·0=1. Portanto det(A)=det(B).
Passo 7
Por outro lado, A+B é a matriz nula de ordem 2, ou seja:
Passo 8
A+B =
,
Passo 9
e det(A+B)=0. Isso não coincide com 2·det(A)=2·1=2.
Passo 10
Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa. Um contraexemplo é A=I₂ e B=−I₂: det(A)=det(B)=1, mas det(A+B)=0≠2.