Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
sumn=0^infty n(x-1)^2 n3^2 n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty n(x-1)^2n3^2n-1. Esse tipo de problema está relacionado à teoria das séries de potências e convergência. Vamos usar o critério da razão para descobrir até onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. A série original é:
sumn=0^infty n(x-1)^2n3^2n-1
Podemos reescrever o denominador 3^2n-1 como 3^2n cdot 3^-1 = 3^2n3. Assim, a série fica:
sumn=0^infty n cdot (x-1)^2n3^2n/3 = 3 sumn=0^infty n ( (x-1)^29 )^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Critério da Razão, que é uma técnica para determinar o raio de convergência de uma série de potências. O critério diz que a série sum an converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
No nosso caso, an = n ( (x-1)^29 )^n. Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+1) ( (x-1)^29 )^n+1n ( (x-1)^29 )^n = n+1n cdot (x-1)^29

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n to infty:
limn to infty | n+1n cdot (x-1)^29 | = limn to infty (1 + 1n) cdot | (x-1)^29 | = 1 cdot | (x-1)^29 | = (x-1)^29
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
(x-1)^29 < 1

Passo 5

Vamos resolver essa inequação para encontrar x:
(x-1)^29 < 1 implies (x-1)^2 < 9
Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
|x - 1| < 3
Isso significa que:
-3 < x - 1 < 3 implies -2 < x < 4

Passo 6

O raio de convergência R é o valor que determina até onde a série converge a partir do centro da série. Nesse caso, o centro é x = 1 e o intervalo de convergência vai de 1 - R a 1 + R. Sabemos que:
R = 3

Passo 7

Finalmente, verificamos os extremos do intervalo para ver se a série converge nesses pontos. Vamos testar x = -2 e x = 4.
Para x = -2:
sumn=0^infty n(-2-1)^2n3^2n-1 = sumn=0^infty n(9)^n3^2n-1 = 3 sumn=0^infty n = infty
Não converge.
Para x = 4:
sumn=0^infty n(4-1)^2n3^2n-1 = sumn=0^infty n(9)^n3^2n-1 = 3 sumn=0^infty n = infty
Também não converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 3 e o intervalo de convergência é -2 < x < 4.

Exercícios relacionados