Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Esse tipo de problema está relacionado à teoria das séries de potências e convergência. Vamos usar o critério da razão para descobrir até onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. A série original é:
Podemos reescrever o denominador como . Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Critério da Razão, que é uma técnica para determinar o raio de convergência de uma série de potências. O critério diz que a série converge se:
No nosso caso, an = n ( (x-1)^29 )^n. Vamos calcular an+1an:
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
(x-1)^29 < 1
Passo 5
Vamos resolver essa inequação para encontrar x:
(x-1)^29 < 1 implies (x-1)^2 < 9
Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
|x - 1| < 3
Isso significa que:
-3 < x - 1 < 3 implies -2 < x < 4
Passo 6
O raio de convergência R é o valor que determina até onde a série converge a partir do centro da série. Nesse caso, o centro é x = 1 e o intervalo de convergência vai de 1 - R a 1 + R. Sabemos que:
R = 3
Passo 7
Finalmente, verificamos os extremos do intervalo para ver se a série converge nesses pontos. Vamos testar x = -2 e x = 4.