determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(1 / y) d x-(3 y-x / y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
1y,dx ;-;l(3y - xy^2r),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Caso não seja, vamos buscar um fator integrante e então resolver a equação exata resultante. O conteúdo principal é teoria de equações diferenciais exatas e fator integrante.

Passo 2

Escrevemos na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 com
M(x,y)=1y, N(x,y)=-l(3y - xy^2r)= -3y+xy^2
Calculamos
partial Mpartial y =partialpartial yl(y^-1r) =-y^-2,
partial Npartial x =partialpartial xl(-3y + x,y^-2r) =;y^-2
Como -y^-2neq y^-2, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. Para isso usamos a condição
partial Npartial x - partial Mpartial yM ;depende apenas de y
Calculando,
;y^-2 - (-y^-2);,1/y, =2,y^-2y^-1 = 2y
Isso depende só de y, logo existe mu(y).

Passo 4

O fator integrante satisfaz
dlnmudy =2y ;;Longrightarrow;; lnmu = 2ln y ;;Longrightarrow;; mu(y)=y^2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original por y^2, obtendo
y^2cdot1y,dx ;+;y^2l(-3y+xy^2r),dy=0 ;Longrightarrow; y,dx +l(x - 3y^3r),dy=0
Agora M^*(x,y)=y e N^*(x,y)=x-3y^3. Verificamos
partial M^*partial y=1, partial N^*partial x=1,
logo a equação é exata.

Passo 6

Como é exata, existe psi(x,y) com
psix = M^* = y e psiy = N^* = x-3y^3
Integramos em x:
psi(x,y)=integral y,dx = x,y + h(y)
Depois, derivamos em y e igualamos a N^*:
psiy = x + h'(y) = x - 3y^3 ;Longrightarrow; h'(y) = -3y^3 ;Longrightarrow; h(y) = -34y^4
Logo
psi(x,y)=x,y - 34y^4

Passo 7

A solução geral fica
psi(x,y)=C ;Longrightarrow; x,y ;-;34y^4=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x,y - dfrac34y^4 = C

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