determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Caso não seja, vamos buscar um fator integrante e então resolver a equação exata resultante. O conteúdo principal é teoria de equações diferenciais exatas e fator integrante.
Passo 2
Escrevemos na forma
com
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Para isso usamos a condição
Calculando,
Isso depende só de
, logo existe
.
Passo 4
O fator integrante satisfaz
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original por
, obtendo
Agora
e
. Verificamos
logo a equação é exata.
Passo 6
Como é exata, existe
com
e
Integramos em :
Integramos em
Depois, derivamos em
e igualamos a
:
Logo
Passo 7
A solução geral fica
onde
é constante arbitrária.