determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
[2 x+y^2-cos (x+y)] d x
+[2 x y-cos (x+y)-e^y] d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l[2x+y^2-cos(x+y)r],dx ;+;l[2xy-cos(x+y)-e^yr],dy=0
e pede para verificar se é exata (isto é, se existe Phi(x,y) com dPhi=M,dx+N,dy) e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=2x+y^2-cos(x+y), N(x,y)=2xy-cos(x+y)-e^y
Calculamos
partial Mpartial y =2y+sin(x+y), partial Npartial x =2y+sin(x+y)

Passo 3

Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)
Integramos em x:
Phi(x,y) =integrall(2x+y^2-cos(x+y)r),dx =x^2+x,y^2-sin(x+y)+h(y),
onde h(y) é função só de y.

Passo 5

Derivando Phi em y e igualando a N:
partial Phipartial y =2x,y-cos(x+y)+h'(y) stackrel!=2xy-cos(x+y)-e^y ;Longrightarrow; h'(y)=-e^y ;Longrightarrow; h(y)=-e^y

Passo 6

Assim, a função potencial é
Phi(x,y)=x^2+x,y^2-sin(x+y)-e^y,
e a solução geral implícita vem de
Phi(x,y)=C.

Resposta

x^2+x,y^2-sin(x+y)-e^y=C

Exercícios relacionados