determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(2 x+y1+x^2 y^2) d x+(x1+x^2 y^2-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(2x+y1+x^2y^2r),dx ;+;l(x1+x^2y^2-2yr),dy=0
e pede para decidir se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão comparando partial M/partial y com partial N/partial x e, se for exata, achar uma função potencial Psi(x,y) tal que dPsi=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2x+y1+x^2y^2, N(x,y)=x1+x^2y^2-2y
Calculamos
partial Mpartial y =partialpartial yl(y1+x^2y^2r) =(1+x^2y^2)-ycdot2x^2y(1+x^2y^2)^2 =1-x^2y^2(1+x^2y^2)^2,
partial Npartial x =partialpartial xl(x1+x^2y^2r) =(1+x^2y^2)-xcdot2xy^2(1+x^2y^2)^2 =1-x^2y^2(1+x^2y^2)^2

Passo 3

Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata. Logo existe Psi(x,y) com
partialPsipartial x=M, partialPsipartial y=N

Passo 4

Para achar Psi, integramos M em x:
Psi(x,y) =integral!M,dx =integrall(2x+y1+x^2y^2r)dx =x^2+integraly1+(xy)^2dx
Fazendo u=xy, du=y,dx, vem
integraly1+(xy)^2dx =integraldu1+u^2 =arctan(u) =arctan(xy)
Então
Psi(x,y)=x^2+arctan(xy)+h(y),
onde h é função de y ainda a determinar.

Passo 5

Diferenciando Psi em y e igualando a N:
partialPsipartial y =x1+x^2y^2+h'(y) stackrel!= x1+x^2y^2-2y ;Longrightarrow; h'(y)=-2y ;Longrightarrow; h(y)=-y^2

Passo 6

Finalmente a função potencial é
Psi(x,y)=x^2+arctan(xy)-y^2,
e a solução implícita geral vem de Psi(x,y)=C, i.e.
x^2-y^2+arctan(xy)=C

Resposta

A equação é exata e sua solução geral é
x^2-y^2+arctan(xy)=C

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