Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty(3 - x)^n-1raizn
Isso é uma série de potências centrada em x0=3. Para resolver, vamos reescrevê-la em forma padrão de série de potências, aplicar o teste da raiz para achar o raio e depois checar o comportamento nos extremos do intervalo lvert x-3rvert=R.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potência de (x-3): faça k=n-1. Então
(3-x)^n-1=(3-x)^k=(-1)^k(x-3)^k,
e n=k+1, de modo que a série vira
sumk=0^infty(-1)^kraizk+1,(x-3)^k
Aqui o coeficiente geral é
ak=(-1)^kraizk+1

Passo 3

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz:
limktoinftyraiz[k]l|akr| =limktoinftyraiz[k]1raizk+1 =limktoinfty(k+1)^-1/(2k)=1
O teste da raiz diz que a série converge se
raiz[k]|ak(x-3)^k|to |x-3|cdot1<1,
logo o raio de convergência é
R=1

Passo 4

O intervalo interior de convergência é
|x-3|<1 Longrightarrow 2<x<4

Passo 5

Precisamos agora verificar x=2 e x=4:
  1. Em x=2: temos x-3=-1, então o termo geral é
    (-1)^kraizk+1,( -1)^k =1raizk+1
    Isso é sumk=0^infty1/raizk+1, que diverge (é uma série p com p=tfrac12<=1).
  2. Em x=4: temos x-3=1, então o termo geral é
    (-1)^kraizk+1,(1)^k =(-1)^kraizk+1
    Como 1/raizk+1 é decrescente para k grande e tende a zero, a série alternada converge (teste de Leibniz).

Resposta

Raio de convergência:
R = 1
Intervalo de convergência:
2 < x <= 4

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