Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Isso é uma série de potências centrada em . Para resolver, vamos reescrevê-la em forma padrão de série de potências, aplicar o teste da raiz para achar o raio e depois checar o comportamento nos extremos do intervalo .
Passo 2
Reescrevendo em forma de potência de : faça . Então
e , de modo que a série vira
Aqui o coeficiente geral é
Passo 3
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz:
O teste da raiz diz que a série converge se
raiz[k]|ak(x-3)^k|to |x-3|cdot1<1,
logo o raio de convergência é
R=1
Passo 4
O intervalo interior de convergência é
|x-3|<1 Longrightarrow 2<x<4
Passo 5
Precisamos agora verificar x=2 e x=4:
Em x=2: temos x-3=-1, então o termo geral é
(-1)^kraizk+1,( -1)^k =1raizk+1
Isso é sumk=0^infty1/raizk+1, que diverge (é uma série p com p=tfrac12<=1).
Em x=4: temos x-3=1, então o termo geral é
(-1)^kraizk+1,(1)^k =(-1)^kraizk+1
Como 1/raizk+1 é decrescente para k grande e tende a zero, a série alternada converge (teste de Leibniz).