Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, a gente tem a série de potências
sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n-1(2n-1)!,
e quer achar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O método mais direto é usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (-1)^n+1x^2n-1(2n-1)!
O teste da razão diz que devemos calcular
L = limntoinfty|an+1an|
Vamos ao cálculo:
|an+1an| = |x|^2(n+1)-1(2(n+1)-1)!;(2n-1)!|x|^2n-1 = |x|^2(2n)(2n+1)
Como ntoinfty, temos
L = limntoinfty|x|^22n(2n+1) = 0,
e 0<1 para todo x.

Passo 3

O fato de L=0<1 independentemente de x implica que a série converge para qualquer valor de x. Portanto o raio de convergência é
R = infty,
e o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

O raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

Exercícios relacionados