determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
[2raiz1-x^2+y cos (x y)] d x
+[x cos (x y)-y^-1 / 3] d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
l[tfrac2raiz1-x^2+ycos(xy)r],dx +l[xcos(xy)-y^-1/3r],dy=0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral.
Conteúdo: equações diferenciais exatas. Vamos identificar
M(x,y)=2raiz1-x^2+ycos(xy), N(x,y)=xcos(xy)-y^-1/3,
checar a exatidão e, se for exata, obter a função potencial psi(x,y) tal que dpsi=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas para testar exatidão:
partial Mpartial y =partialpartial yl[ycos(xy)r] =cos(xy)-xysin(xy),
partial Npartial x =partialpartial xl[xcos(xy)r] =cos(xy)-xysin(xy)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar psi(x,y), integramos M em relação a x:
psi(x,y) =integrall[tfrac2raiz1-x^2+ycos(xy)r]dx =integral2raiz1-x^2dx+integral ycos(xy),dx
Sabendo que integral1/raiz1-x^2,dx=arcsin(x) e integralcos(xy),dx=(1/y)sin(xy), vem
psi(x,y)=2arcsin(x)+sin(xy)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivando psi em relação a y e igualando a N:
partial psipartial y =xcos(xy)+h'(y) stackrel!= xcos(xy)-y^-1/3,
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h'(y)=-y^-1/3 Longrightarrow h(y)=integral -y^-1/3,dy=-32y^2/3

Passo 5

Substituindo h(y) em psi, a solução implícita geral é
psi(x,y)=2arcsin(x)+sin(xy)-32y^2/3=C

Resposta

2arcsin(x)+sin(xy)-32y^2/3=C.

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