resolva o problema de valor inicial.
(1 / x+2 y^2 x) d x+(2 y x^2-cos y) d y=0, y(1)=pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO exata
l(1x+2y^2xr),dx+l(2yx^2-cos yr),dy=0
com condição inicial y(1)=pi. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar exatidão, achar o potencial e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=1x+2y^2x, N(x,y)=2yx^2-cos y
Calculamos
partial Mpartial y=4yx, partial Npartial x=4yx,
portanto partial M/partial y=partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N. Integramos M em x:
phi(x,y)=integrall(1x+2y^2xr),dx =ln|x|+y^2x^2+h(y)

Passo 4

Derivamos phi em y e igualamos a N:
phiy=2yx^2+h'(y)stackrel!=2yx^2-cos y implies h'(y)=-cos yimplies h(y)=-sin y
Assim
phi(x,y)=ln|x|+x^2y^2-sin y

Passo 5

A solução implícita geral é phi(x,y)=C. Usando y(1)=pi
C=phi(1,pi)=ln1+1^2pi^2-sinpi=pi^2
Logo a solução com a condição inicial é
ln|x|+x^2y^2-sin y=pi^2

Resposta

ln|x|+x^2y^2-sin y=pi^2

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