resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Neste problema inicial temos a EDO exata (y e^x y - 1/y),dx + (x e^x y + x/y^2),dy = 0 com condição y(1)=1. Vamos tratar de equações diferenciais exatas e função potencial.

Passo 2

Para saber se a equação é exata, definimos M(x,y)=y e^x y - 1/y e N(x,y)=x e^x y + x/y^2. Calculando
partial Mpartial y=e^x y+x y e^x y+1y^2,
e
partial Npartial x=e^x y+x y e^x y+1y^2,
vemos que são iguais, então é exata.

Passo 3

Como é exata, existe Psi(x,y) tal que partial Psi/partial x = M. Integrando em x:
Psi(x,y)=integral (y e^x y - 1/y),dx = e^x y - xy + h(y)

Passo 4

Agora ajustamos h(y) usando partial Psi/partial y = N. Calculando
partial Psipartial y=x e^x y+xy^2+h'(y)
e igualando a N vemos que h'(y)=0, ou seja h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita é Psi(x,y)=C. Aplicando a condição inicial y(1)=1
C = e^1cdot1 - 11 = e - 1

Resposta

e^x y - xy = e - 1

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