Determine a equação geral da circunferência de centro (2,1) e passa pelo ponto A=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral da circunferência de centro (2,1) que passa pelo ponto A=(1,1). Para resolver, precisamos usar a definição de circunferência em coordenadas cartesianas: o conjunto de pontos cuja distância ao centro é igual ao raio, e depois expandir a forma padrão para a forma geral.

Passo 2

Calcular o raio r como a distância entre o centro (2,1) e o ponto A=(1,1). Pela fórmula da distância entre dois pontos:
r = \sqrt{(1-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.

Passo 3

Escrever a equação padrão da circunferência de centro (h,k)=(2,1) e raio r=1:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1.

Passo 4

Expandir a equação padrão para obter a forma geral x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Primeiro expandimos os quadrados:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1.
Como isso deve ser igual a 1, temos
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
x^2 + y^2 - 4x - 2y + (4 + 1 - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0.

Resposta

A equação geral da circunferência é
x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0.

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