( 3,0 pts) Dada a hipérbole 4 x^2-25 y^2-40 x=0,
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices da hipérbole.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Determine as equações das assíntotas e esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole dada pela equação 4x^2 - 25y^2 - 40x = 0. Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade, as assíntotas e até esboçar o gráfico dessa hipérbole. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as propriedades das hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma reduzida. Isso envolve completar o quadrado para as variáveis x e y. Vamos organizar os termos:
4x^2 - 40x - 25y^2 = 0
Vamos agrupar os termos de x:
4(x^2 - 10x) - 25y^2 = 0
Agora, completamos o quadrado para x. Lembre-se que para completar o quadrado em ax^2 + bx, adicionamos e subtraímos (b2a)^2. Aqui, a = 1, b = -10:
(x^2 - 10x) = (x - 5)^2 - 25
Substituindo de volta na equação:
4[(x - 5)^2 - 25] - 25y^2 = 0
Expandindo:
4(x - 5)^2 - 100 - 25y^2 = 0
Isolando os termos:
4(x - 5)^2 - 25y^2 = 100
Dividindo ambos os lados por 100 para deixar a equação na forma padrão:
(x - 5)^225 - y^24 = 1

Passo 3

Agora que temos a equação reduzida:
(x - 5)^225 - y^24 = 1
Podemos identificar o centro da hipérbole. A forma padrão da hipérbole é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, (h, k) é o centro. Comparando, vemos que:
h = 5, k = 0
Então, o centro da hipérbole é (5, 0).

Passo 4

Para encontrar os vértices, precisamos identificar o valor de a na equação reduzida. Na forma padrão, a^2 = 25, então a = 5.
Como a hipérbole é horizontal (o termo x está positivo), os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo x.
Portanto, os vértices são:
(h + a, k) = (5 + 5, 0) = (10, 0)
e
(h - a, k) = (5 - 5, 0) = (0, 0)
Então, os vértices são (10, 0) e (0, 0).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os focos da hipérbole. Para isso, usamos a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Já sabemos que a^2 = 25 e b^2 = 4. Então:
c^2 = 25 + 4 = 29
Portanto,
c = raiz29
Os focos estão a uma distância c do centro ao longo do eixo x, já que a hipérbole é horizontal.
Então, os focos são:
(h + c, k) = (5 + raiz29, 0)
e
(h - c, k) = (5 - raiz29, 0)

Passo 6

A excentricidade ( e) da hipérbole é dada por:
e = ca
Já temos c = raiz29 e a = 5, então:
e = raiz295

Passo 7

Para encontrar as equações das assíntotas, usamos a forma:
y = pm ba(x - h)
Substituindo os valores que temos ( b = 2, a = 5, h = 5):
y = pm 25(x - 5)
Portanto, as equações das assíntotas são:
y = 25(x - 5)
e
y = -25(x - 5)

Passo 8

Para esboçar o gráfico da hipérbole, consideramos:
  • Centro em (5, 0)
  • Vértices em (10, 0) e (0, 0)
  • Focos em (5 + raiz29, 0) e (5 - raiz29, 0)
  • Assíntotas com inclinação 25 e -25
Desenhamos a hipérbole aberta horizontalmente, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

Resposta

(a) A equação reduzida é (x - 5)^225 - y^24 = 1, o centro da hipérbole é (5, 0) e os vértices estão nos pontos (10, 0) e (0, 0).
(b) Os focos são (5 + raiz29, 0) e (5 - raiz29, 0), e a excentricidade é e = raiz295.
(c) As equações das assíntotas são y = 25(x - 5) e y = -25(x - 5). O gráfico da hipérbole é uma curva aberta horizontalmente, centrada em (5, 0), passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

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