( 3,0 pts) Dada a hipérbole
,
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices da hipérbole.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Determine as equações das assíntotas e esboce seu gráfico.
(a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices da hipérbole.
(b) Determine os focos e a excentricidade.
(c) Determine as equações das assíntotas e esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole dada pela equação
. Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade, as assíntotas e até esboçar o gráfico dessa hipérbole. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as propriedades das hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma reduzida. Isso envolve completar o quadrado para as variáveis
e
. Vamos organizar os termos:
Vamos agrupar os termos de
:
Agora, completamos o quadrado para
. Lembre-se que para completar o quadrado em
, adicionamos e subtraímos
. Aqui,
,
:
Substituindo de volta na equação:
Expandindo:
Isolando os termos:
Dividindo ambos os lados por 100 para deixar a equação na forma padrão:
Passo 3
Agora que temos a equação reduzida:
Podemos identificar o centro da hipérbole. A forma padrão da hipérbole é:
Aqui,
é o centro. Comparando, vemos que:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 4
Para encontrar os vértices, precisamos identificar o valor de
na equação reduzida. Na forma padrão,
, então
.
Como a hipérbole é horizontal (o termo
está positivo), os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
.
Portanto, os vértices são:
e
Então, os vértices são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os focos da hipérbole. Para isso, usamos a relação:
Já sabemos que
e
. Então:
Portanto,
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
, já que a hipérbole é horizontal.
Então, os focos são:
e
Passo 6
A excentricidade (
) da hipérbole é dada por:
Já temos
e
, então:
Passo 7
Para encontrar as equações das assíntotas, usamos a forma:
Substituindo os valores que temos (
,
,
):
Portanto, as equações das assíntotas são:
e
Passo 8
Para esboçar o gráfico da hipérbole, consideramos:
- Centro em
- Vértices em
e - Focos em
e - Assíntotas com inclinação
e
Desenhamos a hipérbole aberta horizontalmente, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.
Resposta
(a) A equação reduzida é
, o centro da hipérbole é
e os vértices estão nos pontos
e
.
(b) Os focos são
e
, e a excentricidade é
.
(c) As equações das assíntotas são
e
. O gráfico da hipérbole é uma curva aberta horizontalmente, centrada em
, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.