Determine a equação geral do plano pi em cada caso:
A, B, C in pi ; A=(0,0,0), B=(2,4,1), C=(3,5,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano pi que contém os pontos
A=(0,0,0), B=(2,4,1), C=(3,5,0)
O conteúdo envolve achar um vetor normal ao plano usando produto vetorial e, em seguida, usar a forma
ncdot (X - A)=0
para obter a equação geral ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Para obter um vetor normal, primeiro formamos dois vetores diretores do plano, por exemplo
AB=B-A=(2,4,1)-(0,0,0)=(2,4,1),
AC=C-A=(3,5,0)-(0,0,0)=(3,5,0)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = ABtimes AC
Calculando componente a componente:
n = i & j & k 2 & 4 & 1 3 & 5 & 0 =l(4cdot0 - 1cdot5,;1cdot3 - 2cdot0,;2cdot5 - 4cdot3r) =(-5,;3,;-2)

Passo 4

A forma vetorial da equação do plano usando o ponto A é
ncdot (X - A)=0 Longrightarrow (-5,3,-2)cdot(x,y,z)-( -5,3,-2)cdot(0,0,0)=0
Isto gera a equação escalar
-5x + 3y - 2z + d = 0,
em que d ainda será determinado.

Passo 5

Como A=(0,0,0) está no plano, basta substituir nessa equação para achar d:
-5cdot0 + 3cdot0 - 2cdot0 + d = 0 Longrightarrow d=0

Passo 6

Podemos multiplicar a equação por -1 para simplificar o sinal do coeficiente de x. Assim obtemos
5x - 3y + 2z = 0

Resposta

A equação geral do plano pi que passa por A, B e C é
5x - 3y + 2z = 0

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