Determine a equação geral do plano que contém o eixo z e a reta x=y=z. E dê as coordenadas de um vetor normal à esse plano.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém duas retas no espaço: o eixo z (reta (0,0,z)) e a reta (t,t,t). Vamos usar conceitos de geometria analítica: obter dois vetores diretores dessas retas, calcular o vetor normal via produto vetorial e em seguida escrever a equação do plano.

Passo 2

Identificamos vetores diretores para cada reta:
  • Eixo z: um vetor diretor é v=(0,0,1).
  • Reta x=y=z: um vetor diretor é w=(1,1,1).

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial vtimesw. Calculando,
n = i & j & k 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 =-i+j+0,k=( -1,,1,,0)

Passo 4

Como o plano passa pela origem, sua equação geral é
ncdot(x,y,z)=0
Substituindo n=(-1,1,0) obtemos
-1cdot x + 1cdot y + 0cdot z = 0 Longrightarrow y - x = 0

Resposta

Equação geral do plano:
y - x = 0
Um vetor normal ao plano (coordenadas) é
(1,,-1,,0)
ou qualquer múltiplo não-nulo desse vetor.

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