Sejam lx=1+3 t y=1+2 t z=1+t e pi:-2 x+2 y+2 z+1=0 ; t in R
E o que você conclui sobre a distância entre a reta e o plano?

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
x = 1 + 3t, y = 1 + 2t, z = 1 + t, tinR
e o plano
pi: -2x + 2y + 2z + 1 = 0
Queremos a distância entre essa reta e o plano. Para isso, primeiro verificamos se a reta é paralela ao plano (produto escalar do vetor diretor com o normal) e depois, se for paralelo e não pertencer ao plano, usamos a fórmula da distância de um ponto do plano até a reta.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta
v = (3,,2,,1)
e o vetor normal do plano
n = (-2,,2,,2)
Calculamos o produto escalar
vcdotn = 3cdot(-2) + 2cdot2 + 1cdot2 = -6 + 4 + 2 = 0
Como vcdotn=0, a reta e o plano são paralelos.

Passo 3

Para saber se a reta está contida no plano ou simplesmente é paralela sem interseção, tomamos o ponto de parâmetro t=0 na reta:
P0 = (1,,1,,1)
Substituímos em pi:
-2cdot1 + 2cdot1 + 2cdot1 + 1 = -2 + 2 + 2 + 1 = 3 neq 0
Portanto P0 não pertence ao plano e a reta é paralela, sem interseção.

Passo 4

A distância de um ponto P0=(x0,y0,z0) ao plano pi:ax+by+cz+d=0 é
d(P0,pi)=l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2+b^2+c^2
Aqui a=-2, b=2, c=2, d=1 e P0=(1,1,1), então
d = l|-2cdot1 + 2cdot1 + 2cdot1 + 1r|raiz(-2)^2 + 2^2 + 2^2 = |3|raiz4+4+4 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32

Passo 5

Concluímos que a reta é paralela ao plano (não se interceptam) e a distância entre eles é constante, valendo tfracraiz32.

Resposta

A reta é paralela ao plano e a distância entre eles é raiz32.

Exercícios relacionados