Sejam lx=1+3 t y=1+2 t z=1+t e pi:-2 x+2 y+2 z+1=0 ; t in R
Qual a posição relativa entre a reta e o plano?

Passo 1

O enunciado dá a reta
e o plano e . Para isso, vamos precisar do vetor diretor da reta, do vetor normal do plano, do produto escalar entre eles e do teste de uma das pontos da reta na equação do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de ell e o vetor normal de pi:
v = (3,2,1) e n = (-2,2,2)

Passo 3

Calculamos o produto escalar vcdotn:
vcdotn = (3,2,1)cdot(-2,2,2) = 3cdot(-2) + 2cdot2 + 1cdot2 = -6 + 4 + 2 = 0
Como vcdotn=0, a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Para saber se a reta está contida no plano ou é paralela distinta, substituímos um ponto de ell na equação de pi. Tomemos t=0, que dá o ponto P=(1,1,1). Então,
-2cdot1 + 2cdot1 + 2cdot1 + 1 = -2 + 2 + 2 + 1 = 3 neq 0
Como o resultado não é zero, P não satisfaz a equação de pi, logo a reta não está contida no plano.

Passo 5

Conclusão: a reta é paralela ao plano e não o intersecta (paralela distinta).

Resposta

A reta é paralela ao plano sem interseção.

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