O que é necessário conhecer para escrever, por exemplo, uma equação vetorial do plano?

Passo 1

O enunciado pergunta quais conceitos e operações em geometria analítica vetorial precisamos dominar para conseguir escrever, por exemplo, uma equação vetorial de um plano no espaço. O conteúdo está em vetores em R^3 (ou R^n) e representa
ções paramétricas e implícitas de objetos afins.

Passo 2

Precisamos saber o que é um vetor em R^3 e conhecer as operações básicas:
bul<=t soma de vetores ( u+ v)
bul<=t multiplicação por escalar ( lambda, v)
bul<=t conceito de combinação linear ( alpha, a+beta, b)
Entender o que é um subconjunto afim (plano, reta, etc.): um plano em R^3 é o conjunto dos pontos que se obtém a partir de um ponto-base r0 somando todas as combinações lineares de dois vetores diretores a e b que sejam linearmente independentes.

Passo 3

Saber escrever a forma paramétrica (vetorial) do plano:
r(u,v) = r0 + u, a + v, b,
em que
r(u,v) é o vetor posição genérico no plano,
r0 é a posição de um ponto conhecido do plano,
e u,vin R são parâmetros escalares.
Conhecer também a forma implícita (normal) do plano, que exige produto escalar e vetor normal n:
ncdot( r- r0)=0 Long<=ftrightarrow ncdot r = d,
com n perpendicular ao plano e d= ncdot r0.

Resposta

Para escrever uma equação vetorial de plano é necessário conhecer:
bul<=t o conceito de vetor em R^3 e suas operações (soma, escalares, combinação linear);
bul<=t o entendimento de conjuntos afins gerados por ponto-base e vetores diretores;
bul<=t a representação paramétrica do plano r= r0+u a+v b;
bul<=t o produto escalar e a obtenção de um vetor normal para a forma implícita.

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