verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=M(2,2), W=[cca & a+b a-b & b] / a, b in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se Wsubset V é subespaço vetorial, onde
V = M(2,2)
é o espaço de todas as matrizes 2times 2 reais e
W = la & a+b[6pt]a-b & b,m|,a,binRr
Para isso vamos checar três propriedades típicas de subespaços:
1. W não é vazio (contém o vetor zero).
2. W é fechado sob adição.
3. W é fechado sob multiplicação escalar.]

Passo 2

Mostramos que o zero de V pertence a W. Para a=0 e b=0 obtemos
0 & 0+0[4pt]0-0 & 0 = 0 & 00 & 0,
que é a matriz zero de V. Logo, Wneqemptyset.]

Passo 3

Fechamento sob adição. Tomemos
X1 = a1 & a1+b1[4pt]a1-b1 & b1, X2 = a2 & a2+b2[4pt]a2-b2 & b2,
com ai,biinR. Então
X1 + X2 = a1+a2 & (a1+b1)+(a2+b2)[4pt] (a1-b1)+(a2-b2) & b1+b2 = a' & a'+b'[4pt]a'-b' & b' ,
once a' = a1+a2 e b' = b1+b2. Como a',b'inR, segue que X1+X2in W.]

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
X = a & a+b[4pt]a-b & bin W
Então
lambda X = lambda a & lambda(a+b)[4pt] lambda(a-b) & lambda b = a' & a'+b'[4pt]a'-b' & b' ,
com a'=lambda a e b'=lambda b. Como a',b'inR, temos lambda Xin W.]

Passo 5

Como W contém o zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de V.

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