Determine as equações (geral, vetorial e paramétricas) do plano que passa pelos pontos A=(1,2,3), B=(-1,1,1) e C=(0,1,2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações (geral, vetorial e paramétricas) do plano que passa pelos pontos A=(1,2,3), B=(-1,1,1) e C=(0,1,2).
Informações dadas:
  • Ponto A tem coordenadas (1,2,3).
  • Ponto B tem coordenadas (-1,1,1).
  • Ponto C tem coordenadas (0,1,2).
O que é pedido:
  • A equação geral (cartesiana) do plano.
  • A equação vetorial do plano.
  • As equações paramétricas do plano.

Passo 2

Primeiro passo prático: vou obter dois vetores diretores do plano, usando os pontos dados. A ideia é subtrair coordenadas para formar vetores que ficam no plano.
Definição usada: o vetor que vai de um ponto P=(x_P,y_P,z_P) para outro Q=(x_Q,y_Q,z_Q) é \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P,\;z_Q-z_P).
Calculemos \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}-1-1 \\\\ 1-2 \\\\ 1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\\\ -1 \\\\ -2\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}0-1 \\\\ 1-2 \\\\ 2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\\\ -1 \\\\ -1\end{pmatrix}
Esses dois vetores pertencem ao plano e, se não forem colineares, servem como vetores diretores para escrever a forma vetorial e paramétrica do plano.

Passo 3

Agora precisamos de um vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a todo vetor que pertence ao plano; uma maneira prática de obtê-lo é o produto vetorial (cross product) entre dois vetores não colineares do plano.
Definição e fórmula do produto vetorial: dados \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} é
\vec{n} = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix},
e esse \vec{n} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
Aplicando com \vec{u}=\overrightarrow{AB} e \vec{v}=\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}

Passo 4

Calculemos componente a componente usando a fórmula do produto vetorial:
Componente x:
n_x = (-1)\cdot(-1) - (-2)\cdot(-1) = 1 - 2 = -1.
Componente y:
n_y = (-2)\cdot(-1) - (-2)\cdot(-1) = 2 - 2 = 0.
Componente z:
n_z = (-2)\cdot(-1) - (-1)\cdot(-1) = 2 - 1 = 1.
Portanto o vetor normal é
\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Observação didática curta: se preferir, podemos multiplicar \vec{n} por -1 e usar \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}; ambos são normais válidos (só mudam o sinal da equação cartesiana).

Passo 5

Usando o vetor normal \vec{n} e um ponto conhecido do plano (por exemplo A), podemos escrever a equação cartesiana (geral) do plano.
Fórmula usada: se \vec{n}=(n_1,n_2,n_3) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano é
\vec{n}\cdot\bigl(\vec{r}-\vec{r_0}\bigr)=0,
onde \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0). Isso expande para
n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Substituindo \vec{n}=(-1,0,1) e A=(1,2,3):
-1\cdot(x-1) + 0\cdot(y-2) + 1\cdot(z-3) = 0.
Simplificando:
-x+1+z-3=0 \quad\Rightarrow\quad -x+z-2=0.
Multiplicando por -1 para ficar esteticamente comum:
x - z + 2 = 0.
Verificação rápida (importante na prova): substitua as coordenadas dos pontos A,B,C na equação x-z+2=0:
  • Para A=(1,2,3): 1-3+2=0.
  • Para B=(-1,1,1): (-1)-1+2=0.
  • Para C=(0,1,2): 0-2+2=0.
    Todos satisfazem, logo a equação está correta.

Passo 6

Agora escrevemos a equação vetorial do plano. Ideia: o plano é o conjunto de vetores posição \vec{r} obtidos a partir de um ponto base \vec{r_0} somando combinações lineares dos vetores diretores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Forma vetorial padrão:
\vec{r} = \vec{r_0} + s\,\vec{u} + t\,\vec{v},
onde s,t\in\mathbb{R} e \vec{u},\vec{v} são vetores não colineares do plano.
Escolhendo \vec{r_0}= \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \vec{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix} e \vec{v}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}, temos:
\vec{r} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Explicação didática: aqui s e t “andam” pelos dois vetores diretores, gerando todos os pontos do plano quando somados ao ponto base.

Passo 7

Das componentes da forma vetorial extraímos as equações paramétricas. Se escrevemos a forma vetorial componente a componente, obtemos:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}.
Isto dá, para cada coordenada,
x = 1 -2s - t,
y = 2 - s - t,
z = 3 -2s - t,
com s,t\in\mathbb{R}.
Observação prática para prova: pode renomear os parâmetros ( s,t \lambda,\mu ou u,v) conforme preferir. Essas são as equações paramétricas do plano.

Passo 8

Resumo rápido das relações entre as formas (útil na hora da prova):
  • Da forma vetorial para a paramétrica: separar componentes.
  • Da forma cartesiana para verificar pertencimento: substituir (x,y,z) na equação x-z+2=0.
  • Da forma paramétrica para a cartesiana: pode eliminar s,t resolvendo um sistema linear; aqui uso direto o vetor normal encontrado pelo produto vetorial para obter a cartesiana, que é mais rápido.

Resposta

x - z + 2 = 0
\vec{r} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}
x = 1 - 2s - t,\quad y = 2 - s - t,\quad z = 3 - 2s - t,\quad s,t\in\mathbb{R}

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