Determine as equações (geral, vetorial e paramétricas) do plano que passa pelos pontos A=(1,2,3), B=(-1,1,1) e C=(0,1,2).
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações (geral, vetorial e paramétricas) do plano que passa pelos pontos A=(1,2,3), B=(-1,1,1) e C=(0,1,2).
Informações dadas:
Ponto A tem coordenadas (1,2,3).
Ponto B tem coordenadas (-1,1,1).
Ponto C tem coordenadas (0,1,2).
O que é pedido:
A equação geral (cartesiana) do plano.
A equação vetorial do plano.
As equações paramétricas do plano.
Passo 2
Primeiro passo prático: vou obter dois vetores diretores do plano, usando os pontos dados. A ideia é subtrair coordenadas para formar vetores que ficam no plano.
Definição usada: o vetor que vai de um ponto P=(x_P,y_P,z_P) para outro Q=(x_Q,y_Q,z_Q) é \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P,\;z_Q-z_P).
Calculemos \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}-1-1 \\\\ 1-2 \\\\ 1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\\\ -1 \\\\ -2\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}0-1 \\\\ 1-2 \\\\ 2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\\\ -1 \\\\ -1\end{pmatrix}
Esses dois vetores pertencem ao plano e, se não forem colineares, servem como vetores diretores para escrever a forma vetorial e paramétrica do plano.
Passo 3
Agora precisamos de um vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a todo vetor que pertence ao plano; uma maneira prática de obtê-lo é o produto vetorial (cross product) entre dois vetores não colineares do plano.
Definição e fórmula do produto vetorial: dados \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto vetorial \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} é
Observação didática curta: se preferir, podemos multiplicar \vec{n} por -1 e usar \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}; ambos são normais válidos (só mudam o sinal da equação cartesiana).
Passo 5
Usando o vetor normal \vec{n} e um ponto conhecido do plano (por exemplo A), podemos escrever a equação cartesiana (geral) do plano.
Fórmula usada: se \vec{n}=(n_1,n_2,n_3) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano é
\vec{n}\cdot\bigl(\vec{r}-\vec{r_0}\bigr)=0,
onde \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0). Isso expande para
n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Substituindo \vec{n}=(-1,0,1) e A=(1,2,3):
-1\cdot(x-1) + 0\cdot(y-2) + 1\cdot(z-3) = 0.
Simplificando:
-x+1+z-3=0 \quad\Rightarrow\quad -x+z-2=0.
Multiplicando por -1 para ficar esteticamente comum:
x - z + 2 = 0.
Verificação rápida (importante na prova): substitua as coordenadas dos pontos A,B,C na equação x-z+2=0:
Para A=(1,2,3): 1-3+2=0.
Para B=(-1,1,1): (-1)-1+2=0.
Para C=(0,1,2): 0-2+2=0.
Todos satisfazem, logo a equação está correta.
Passo 6
Agora escrevemos a equação vetorial do plano. Ideia: o plano é o conjunto de vetores posição \vec{r} obtidos a partir de um ponto base \vec{r_0} somando combinações lineares dos vetores diretores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Forma vetorial padrão:
\vec{r} = \vec{r_0} + s\,\vec{u} + t\,\vec{v},
onde s,t\in\mathbb{R} e \vec{u},\vec{v} são vetores não colineares do plano.
Observação prática para prova: pode renomear os parâmetros (s,t → \lambda,\mu ou u,v) conforme preferir. Essas são as equações paramétricas do plano.
Passo 8
Resumo rápido das relações entre as formas (útil na hora da prova):
Da forma vetorial para a paramétrica: separar componentes.
Da forma cartesiana para verificar pertencimento: substituir (x,y,z) na equação x-z+2=0.
Da forma paramétrica para a cartesiana: pode eliminar s,t resolvendo um sistema linear; aqui uso direto o vetor normal encontrado pelo produto vetorial para obter a cartesiana, que é mais rápido.