Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos (1,2,3),(0,1,1) e (1,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: (1,2,3), (0,1,1) e (1,0,2). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores. Vamos precisar entender como encontrar vetores que estão no plano e como usar esses vetores para determinar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano usando os três pontos dados. Vamos chamar esses pontos de P(1,2,3), Q(0,1,1) e R(1,0,2).
Para encontrar um vetor que vai de P a Q, subtraímos as coordenadas de P das coordenadas de Q:
PQ = Q - P = (0-1, 1-2, 1-3) = (-1, -1, -2)
Da mesma forma, para encontrar um vetor que vai de P a R:
PR = R - P = (1-1, 0-2, 2-3) = (0, -2, -1)
Agora temos dois vetores, PQ e PR, que estão no plano.

Passo 3

Agora, vamos precisar descobrir um vetor normal ao plano, que é um vetor que é perpendicular a todos os vetores que estão no plano. Para isso, usamos o produto vetorial entre PQ e PR. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois.
Vamos calcular o produto vetorial PQ times PR:
PQ times PR = i & j & k -1 & -1 & -2 0 & -2 & -1
Calculando o determinante:
PQ times PR = i((-1)(-1) - (-2)(-2)) - j((-1)(-1) - (-2)(0)) + k((-1)(-2) - (-1)(0))
Simplificando:
PQ times PR = i(1 - 4) - j(1 - 0) + k(2 - 0) = -3i - j + 2k
Então, o vetor normal é (-3, -1, 2).

Passo 4

Com o vetor normal n = (-3, -1, 2) e um dos pontos pelo qual o plano passa, por exemplo, P(1,2,3), podemos usar a equação do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Aqui, (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto P. Substituindo:
-3(x - 1) -1(y - 2) + 2(z - 3) = 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação para chegar na forma geral:
Distribuindo os termos:
-3x + 3 - y + 2 + 2z - 6 = 0
Somando os termos constantes:
-3x - y + 2z -1 = 0
Para colocar na forma mais comum, podemos multiplicar todos os termos por -1:
3x + y - 2z + 1 = 0

Resposta

A equação geral do plano é 3x + y - 2z + 1 = 0.

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