Encontre o plano tangente à esfera de raio 5 centrada na origem no ponto ( 3,4,0 ).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à esfera de raio 5 centrada na origem no ponto P=(3,4,0). O conteúdo é plano tangente a uma superfície definida implicitamente, que obtemos usando o gradiente da função que define a esfera.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-25,
cuja superfície F(x,y,z)=0 é a esfera dada. O vetor normal à superfície em qualquer ponto (x,y,z) é o gradiente
nabla F(x,y,z) = l(2x,,2y,,2zr)

Passo 3

Avaliando o gradiente em P=(3,4,0) temos
nabla F(3,4,0) = l(2cdot3,,2cdot4,,2cdot0r) = (6,,8,,0)

Passo 4

A equação do plano tangente em P é dada por
nabla F(3,4,0)cdotl((x,y,z)-(3,4,0)r)=0,
isto é,
6(x-3)+8(y-4)+0,(z-0)=0
Desenvolvendo,
6x-18+8y-32=0 Longrightarrow 6x+8y-50=0 Longrightarrow 3x+4y-25=0

Resposta

A equação do plano tangente é
3x + 4y - 25 = 0

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