Determine se os planos
e
são paralelos, coincidentes ou se se interceptam.
Passo 1
O enunciado fornece dois planos
e
e pede para determinar se são paralelos, coincidentes ou se se interceptam. O conteúdo relevante é geometria analítica no espaço, em particular a caracterização de planos a partir de seus vetores normais.
Passo 2
O vetor normal de cada plano é dado pelos coeficientes de
,
e
. Para
temos o vetor normal
e para
temos
Passo 3
Para verificar se os planos são paralelos, conferimos se
é múltiplo de
. Observamos que
logo os vetores normais são colineares, o que implica que os planos são paralelos (ou coincidentes).
Passo 4
Para distinguir entre planos paralelos distintos e planos coincidentes, comparamos a proporcionalidade dos termos constantes. Em
o termo independente é
e em
o termo independente é
. Notamos que
que é o mesmo fator
que relaciona os vetores normais.
Passo 5
Como os vetores normais são proporcionais pelo fator
e os termos constantes também são proporcionais pelo mesmo fator, os dois planos representam exatamente a mesma coleção de pontos no espaço. Portanto, são coincidentes.
Resposta
Os planos
e
são coincidentes.