Determine se os planos P1: x-y+z=3 e P2: 2 x-2 y+2 z=6 são paralelos, coincidentes ou se se interceptam.

Passo 1

O enunciado fornece dois planos P1colon x-y+z=3 e P2colon 2x-2y+2z=6 e pede para determinar se são paralelos, coincidentes ou se se interceptam. O conteúdo relevante é geometria analítica no espaço, em particular a caracterização de planos a partir de seus vetores normais.

Passo 2

O vetor normal de cada plano é dado pelos coeficientes de x, y e z. Para P1 temos o vetor normal
n1 = (1,,-1,,1),
e para P2 temos
n2 = (2,,-2,,2)

Passo 3

Para verificar se os planos são paralelos, conferimos se n2 é múltiplo de n1. Observamos que
n2 = 2,n1,
logo os vetores normais são colineares, o que implica que os planos são paralelos (ou coincidentes).

Passo 4

Para distinguir entre planos paralelos distintos e planos coincidentes, comparamos a proporcionalidade dos termos constantes. Em P1 o termo independente é 3 e em P2 o termo independente é 6. Notamos que
6 = 2 times 3,
que é o mesmo fator 2 que relaciona os vetores normais.

Passo 5

Como os vetores normais são proporcionais pelo fator 2 e os termos constantes também são proporcionais pelo mesmo fator, os dois planos representam exatamente a mesma coleção de pontos no espaço. Portanto, são coincidentes.

Resposta

Os planos P1 e P2 são coincidentes.

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