Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,-2,-1), B=(-2,3,-1) e C=(3,-1,1).
Escolha uma opçâo:
a. -2 x+2 y+3 z+5=0
b. 10 x+2 y-21 z-7=0
c. 8 x-2 y+9 z+13=0
d. 8 x+10 y-21 z+7=0
e. -2 x-4 y+9 z-1=0

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos
A=(-1,-2,-1), B=(-2,3,-1) e C=(3,-1,1).
Este problema envolve geometria analítica no espaço: vamos usar vetores diretores, produto vetorial para achar o vetor normal e, em seguida, a equação do plano.

Passo 2

Calcular os vetores diretores \vec{AB} e \vec{AC}:
\vec{AB} = B - A = (-2 - (-1),\,3 - (-2),\,-1 - (-1)) = (-1,\,5,\,0),
\vec{AC} = C - A = (3 - (-1),\,-1 - (-2),\,1 - (-1)) = (4,\,1,\,2).

Passo 3

O vetor normal \vec n ao plano é dado por \vec{AB}\times\vec{AC}. Pela definição de produto vetorial, se \vec{AB}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{AC}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec n = (a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1).
Substituindo os valores:
\vec n = (5\cdot2 - 0\cdot1,\;0\cdot4 - (-1)\cdot2,\;(-1)\cdot1 - 5\cdot4) = (10,\;2,\;-21).

Passo 4

A equação do plano usando o vetor normal é
\vec n \cdot ((x,y,z)-A) = 0. Assim,
10\,(x+1) + 2\,(y+2) -21\,(z+1) = 0.
Expandindo e agrupando termos:
10x +10 +2y +4 -21z -21 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 10x +2y -21z -7 = 0.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, a alternativa (b) é
10x +2y -21z -7 = 0,
que coincide exatamente com a nossa equação.

Resposta

(b)

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