Encontre a área da região englobada pelas curves y=x^{2} e y=4 x integrando:
a)em relaçõo a x
b)em relaçõo a y

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4x, usando dois métodos de integração: em relação a x e em relação a y. Para isso vamos precisar
– encontrar os pontos de interseção dessas curvas;
– identificar qual função fica acima (ou à direita) da outra;
– montar e calcular as integrais apropriadas.

Passo 2

Integração em x.
  1. Igualamos
x^2 = 4x
para achar os extremos em x. Isso dá
x(x - 4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;4.
  1. No intervalo 0\le x\le4, a curva superior é y=4x e a inferior é y=x^2. Logo a área é
A = \int_{0}^{4}\bigl(4x - x^2\bigr)\,dx.
  1. Calculamos a primitiva:
\int\bigl(4x - x^2\bigr)\,dx =2x^2 - \frac{x^3}{3}.
  1. Avaliando de 0 a 4:
A = \Bigl(2\cdot4^2 - \tfrac{4^3}{3}\Bigr) - 0 =32 - \frac{64}{3} =\frac{32}{3}.

Passo 3

Integração em y.
  1. Reescrevemos as curvas em função de x:
    – da reta y=4x vem x = \tfrac{y}{4};
    – da parábola y=x^2 vem x = \sqrt{y}.
  2. As interseções ocorrem em y = 0 e y = 16 (quando x=4).
  3. Para cada y\in[0,16], a abscissa esquerda é x_{\min}=y/4 e a direita é x_{\max}=\sqrt{y}. Então
A = \int_{0}^{16}\Bigl(\sqrt{y}-\frac{y}{4}\Bigr)\,dy.
  1. As primitivas são
\int \sqrt{y}\,dy = \frac{2}{3}\,y^{3/2}, \quad \int \frac{y}{4}\,dy = \frac{y^2}{8}.
  1. Avaliando de 0 a 16:
A = \Bigl(\tfrac{2}{3}\,16^{3/2} - \tfrac{16^2}{8}\Bigr) - 0 = \frac{128}{3} - 32 = \frac{32}{3}.

Resposta

a) Integrando em relação a x:
A = \int_{0}^{4}\bigl(4x - x^2\bigr)\,dx = \frac{32}{3}.
b) Integrando em relação a y:
A = \int_{0}^{16}\Bigl(\sqrt{y} - \frac{y}{4}\Bigr)\,dy = \frac{32}{3}.

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