\hline & 6) Sejam os pontos \mathrm{A}=(-5,2,3) e \mathrm{B}=(4,-7,-6). Escreva as equações simétricas para a reta r que passa por A e B. Verifique se C =(3,1,4) \
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos \mathrm{A}=(-5,2,3) e \mathrm{B}=(4,-7,-6) e pede para escrever as equações simétricas da reta r que passa por esses pontos. Em seguida, devemos verificar se o ponto \mathrm{C}=(3,1,4) pertence a r. O conteúdo envolvido é geometria analítica espacial: vetor diretor, equação paramétrica, conversão para equações simétricas e teste de colinearidade.
Passo 2
Para encontrar a reta, primeiro calculamos o vetor diretor \vec{v}=\overrightarrow{AB} subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{v} = (4-(-5),\;-7-2,\;-6-3) = (9,-9,-9).
Podemos simplificar dividindo por 9, obtendo o vetor (1,-1,-1).
Passo 3
Usando o ponto \mathrm{A} e o vetor diretor, escrevemos a forma paramétrica da reta:
\begin{cases} x = -5 + 9t,\\\ y = 2 - 9t,\\\ z = 3 - 9t. \end{cases}
Se preferirmos o vetor simplificado, temos
\begin{cases} x = -5 + t,\\\ y = 2 - t,\\\ z = 3 - t. \end{cases}
Passo 4
A partir da forma paramétrica com o vetor (1,-1,-1) extraímos as equações simétricas:
Para verificar se \mathrm{C}=(3,1,4) pertence à reta, buscamos um t comum nas três equações.
De x = -5 + t vem t = 3 + 5 = 8.
De y = 2 - t vem t = 2 - 1 = 1.
Como não há um único valor de t que satisfaça ambos, concluímos que \mathrm{C} não está na reta.
Resposta
\frac{x+5}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{-1},
e o ponto \mathrm{C}=(3,1,4) não pertence a essa reta.