Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos P(1,0,1), Q(2,1,0) e R(0,1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano que passa pelos pontos P(1,0,1), Q(2,1,0) e R(0,1,2). O conteúdo principal é geometria no espaço: para obter a equação do plano precisamos
  1. encontrar dois vetores diretores (por exemplo \vec{PQ} e \vec{PR});
  2. calcular o vetor normal ao plano via produto vetorial;
  3. usar a forma \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x_0})=0 para escrever a equação.

Passo 2

Calcular os vetores \vec{PQ} e \vec{PR} subtraindo as coordenadas dos pontos:
\vec{PQ} = Q - P = (2-1,\;1-0,\;0-1) = (1,1,-1),
\vec{PR} = R - P = (0-1,\;1-0,\;2-1) = (-1,1,1).

Passo 3

Obter o vetor normal \vec{n} ao plano pelo produto vetorial
\vec{n} = \vec{PQ}\times\vec{PR} = (1,1,-1)\times(-1,1,1) = (2,0,2).
Podemos simplificar dividindo por 2 e tomar \vec{n} = (1,0,1).

Passo 4

Usar a forma \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x_0})=0 escolhendo \vec{x_0}=P(1,0,1). Logo,
1\,(x-1) + 0\,(y-0) + 1\,(z-1) = 0.
Distribuindo e simplificando vem
x - 1 + z - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + z - 2 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
x + z - 2 = 0.

Exercícios relacionados