Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Se forem, prove que são e se não forem, justifique por que.
c) h: M(2,2) M(2,2)
[ll a & b c & d ] [ll b & d c & a ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se a função definida de matrizes para matrizes é uma transformação linear. Para isso, vamos revisar o que é transformação linear e quais propriedades precisamos verificar para provar ou refutar que é linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer duas matrizes e , e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Isso significa que a transformação deve “respeitar” a estrutura de adição e escala das matrizes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à função a & b c & d dada. A função mapeia uma matriz
b & d c & a
para
Vamos testar as duas propriedades de transformação linear.

Passo 4

Verificando a adição:
Se tomarmos duas matrizes a & b c & d e e & f g & h , então:
A + B = a+e & b+f c+g & d+h
Aplicando h(A + B) = b+f & d+h c+g & a+e a h(A) = b & d c & a , h(B) = f & h g & e :
h(A) + h(B) = b+f & d+h c+g & a+e
Agora, aplicando separadamente a e :
Somando :
Vemos que , então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 5

Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos considerar um escalar a & b c & d e uma matriz kA = ka & kb kc & kd . Multiplicando h(kA) = kb & kd kc & ka = k b & d c & a = k h(A) por :
Aplicando a :
Assim, , então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

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