Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Se forem, prove que são e se não forem, justifique por que.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se a função
definida de matrizes
para matrizes
é uma transformação linear. Para isso, vamos revisar o que é transformação linear e quais propriedades precisamos verificar para provar ou refutar que
é linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer duas matrizes
e
, e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Isso significa que a transformação deve “respeitar” a estrutura de adição e escala das matrizes.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades à função
dada. A função mapeia uma matriz
para
Vamos testar as duas propriedades de transformação linear.
Passo 4
Verificando a adição:
Se tomarmos duas matrizes
e
, então:
Aplicando
a
:
Agora, aplicando
separadamente a
e
:
Somando
:
Vemos que
, então a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 5
Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos considerar um escalar
e uma matriz
. Multiplicando
por
:
Aplicando
a
:
Assim,
, então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.