Determine a equação geral do PVI
l y^prime prime prime-7 y^prime+6 y=0 y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
y''' - 7y' + 6y = 0
Além disso, são dadas as condições iniciais:
y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 1
O conteúdo aqui envolve resolver uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução geral. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, como encontrar as raízes características e montar a solução geral com base nessas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes:
y''' - 7y' + 6y = 0
A equação característica é obtida substituindo y = e^rt , o que leva a:
r^3 - 7r + 6 = 0

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação característica:
r^3 - 7r + 6 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Vamos testar valores inteiros que possam ser soluções. Testando r = 1 :
1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0
Então, r = 1 é uma raiz. Agora, podemos fatorar (r - 1) da equação cúbica.

Passo 4

Dividindo r^3 - 7r + 6 por (r - 1) , usamos a divisão polinomial:
r^3 - 7r + 6 = (r - 1)(r^2 + r - 6)
Agora, resolvemos a equação quadrática resultante:
r^2 + r - 6 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
r^2 + r - 6 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 1 , c = -6 :
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Então, as raízes são:
r = 2 e r = -3
Agora, temos todas as raízes da equação característica: r = 1 , r = 2 , e r = -3 .

Passo 6

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t + C3 e^r3 t = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^-3t
Onde C1 , C2 , e C3 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de C1 , C2 e C3 .
Primeira condição: y(0) = 0
0 = C1 e^0 + C2 e^0 + C3 e^0 Rightarrow C1 + C2 + C3 = 0 (1)

Passo 8

Segunda condição: y'(0) = 1
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
y'(t) = C1 e^t + 2C2 e^2t - 3C3 e^-3t
Aplicando t = 0 :
1 = C1 + 2C2 - 3C3 (2)

Passo 9

Terceira condição: y''(0) = 1
Calculamos a segunda derivada:
y''(t) = C1 e^t + 4C2 e^2t + 9C3 e^-3t
Aplicando t = 0 :
1 = C1 + 4C2 + 9C3 (3)

Passo 10

Agora, temos um sistema de três equações:
C1 + C2 + C3 = 0 (1) C1 + 2C2 - 3C3 = 1 (2) C1 + 4C2 + 9C3 = 1 (3)
Vamos resolver esse sistema para encontrar C1 , C2 e C3 .

Passo 11

Subtraindo a equação (1) da equação (2):
(C1 + 2C2 - 3C3) - (C1 + C2 + C3) = 1 - 0 Rightarrow C2 - 4C3 = 1 (4)
Subtraindo a equação (1) da equação (3):
(C1 + 4C2 + 9C3) - (C1 + C2 + C3) = 1 - 0 Rightarrow 3C2 + 8C3 = 1 (5)

Passo 12

Agora, temos um sistema com duas equações:
C2 - 4C3 = 1 (4) 3C2 + 8C3 = 1 (5)
Podemos resolver substituindo C2 da equação (4) na equação (5):
Da equação (4):
C2 = 1 + 4C3
Substituindo na equação (5):
3(1 + 4C3) + 8C3 = 1 Rightarrow 3 + 12C3 + 8C3 = 1 Rightarrow 20C3 = -2 Rightarrow C3 = -110

Passo 13

Agora, substituímos C3 = -110 na equação (4):
C2 - 4(-110) = 1 Rightarrow C2 + 410 = 1 Rightarrow C2 = 1 - 25 = 35
Por fim, substituímos C2 = 35 e C3 = -110 na equação (1):
C1 + 35 - 110 = 0 Rightarrow C1 = -35 + 110 = -610 + 110 = -510 = -12

Resposta

A solução geral do problema de valor inicial é:
y(t) = -12 e^t + 35 e^2t - 110 e^-3t

Exercícios relacionados