Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
Além disso, são dadas as condições iniciais:
O conteúdo aqui envolve resolver uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução geral. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, como encontrar as raízes características e montar a solução geral com base nessas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes:
A equação característica é obtida substituindo , o que leva a:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação característica:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Vamos testar valores inteiros que possam ser soluções. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar da equação cúbica.
Passo 4
Dividindo por , usamos a divisão polinomial:
Agora, resolvemos a equação quadrática resultante:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , :
Então, as raízes são:
Agora, temos todas as raízes da equação característica: , , e .
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde , , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de , e .
Primeira condição:
Passo 8
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Aplicando :
Passo 9
Terceira condição:
Calculamos a segunda derivada:
Aplicando :
Passo 10
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar C1 , C2 e C3 .